פרדוקסים של השפה הטבעית

*מעבר למדור מיון פרדוקסים לפי סוגים

כל אחד מן הפרדוקסים שיוצגו,  ממעוף הציפור ובסקירה רוחבית,
משתייך לפחות לאחד מבין תחומי הדיון הבאים:

פרדוקסים לוגיים
פרדוקסים סמנטיים
פרדוקסים של עמימות
פרדוקסים של הוראה עצמית
פרדוקסים הטומנים בחובם הנחות יסוד בעייתיות
פרדוקסים של תקפות
פרדוקסים רפלקטיביים המורכבים ממשפט בעל הפניה-מעגלית
פרדוקסים המורכבים ממשפט בו הרישא והסיפא סותרות זו את זו.

הצגת הדוגמאות לפני התיאוריה תקל על הבנת נושא סבוך זה.
לפיכך, ה`הקדמה` תוצג בסוף, וזהו הפרדוקס הראשון.

 

1. פרדוקס השקרן –Liar’s Paradox 

טיעון:
      "המשפט הזה שקרי".

      ניתוח:
      אם הטיעון אמיתי, הרי הוא שקרי.   (כי זה מה שכתוב בין המירכאות)

      אם הטיעון שקרי, הרי הוא אמיתי.   (שלילת השלילה מביאה לחיוב)

      ניסוחים שקולים:

      "איש כרתים טוען: `כל אנשי כרתים שקרנים` " –      Epimenides paradox

      "אני שקרן"

 

2.  פרדוקס הכל-יכול– Omnipotence Paradox

     טיעון:
     "נניח את קיומו של אדם כל-יכול. האם הוא יכול ליצור אבן שאותה לא יוכל להרים?"

ניתוח:
     אם יוכל ליצור אבן כזאת, הרי אינו כל-יכול, שכן אינו מסוגל להרימה.
אם לא יוכל ליצור אבן כזאת, בוודאי שאינו כל-יכול.

הפרדוקס תיאולוגי ביסודו, ונושאו הוא האל.

     ניסוחים שקולים:
"מה קורה כשרכב שמסוגל לעבור כל מחסום, מגיע למחסום שמסוגל לעצור כל רכב?"

 

3. פרדוקס חוזה פרותגורס (פרדוקס המשפט)–  Paradox of the Court

  ***** הטקסט מובא ככתבו וכלשונו מאתר החידות של דוד שי
 העוסק בהרחבה בניתוח טיעוני אמת ושקר.

פרדוקס עתיק זה מוזכר לראשונה בכתבי המדינאי הרומי קיקרו, אך הוא מיוחס

      לפילוסופים של יוון הקדומה.

      אותלוס שכר את פרותגורס שילמדו משפטים. חצי משכר הלימוד ניתן במזומן, ואת

      החצי השני התחייב אותלוס לשלם לאחר המשפט הראשון שבו יופיע ויזכה. עם סיום

      לימודיו נמנע אותלוס מלעסוק בעריכת-דין, ולכן לא שילם את יתרת שכר הלימוד.

      פרותגורס, שרצה את הכסף, החליט לתבוע את אותלוס לדין. וזה היה נימוקו של

      פרותגורס בבית-המשפט:

      אני תובע שאותלוס ישלם את יתרת שכר הלימוד. אם אותלוס יזכה במשפט זה,

      הוא חייב לשלם לי על-פי ההסכם שבינינו, ואם אותלוס יפסיד במשפט, הוא חייב

      לשלם לי כפסיקת בית-המשפט. לכן, בין אם יזכה ובין אם יפסיד, חייב אותלוס

      לשלם לי את החצי השני של שכר הלימוד.

      אותלוס, שהיה תלמיד טוב, הגן על עצמו ודחה את התביעה בנימוק דומה:

      אם פרותגורס יזכה במשפט זה, הרי שטרם נתקיים התנאי שבהסכם שכר הלימוד,

      ולכן אני פטור מלשלם את החצי השני. אם פרותגורס יפסיד במשפט, הרי אני

      פטור מלשלם בהתאם לפסיקת בית המשפט. לכן, בין אם אזכה ובין אם אפסיד,

      אני פטור מלשלם את יתרת שכר הלימוד.

– – – – – – – –

כדוגמה לפרדוקסים סמנטיים באותו מדרג לשוני, אשר בהם הרישא של הטיעון נסתרת על ידי הסיפא,
מובא הקטע "פרדוקסים זעירים", מתוך ספרו של צבי עצמון:  "אפקט ולנברג,תהילים קנא".

   * איך אשכנע אותך שאין לי בכלל כושר שכנוע.

   * צר לי, אבל לעולם איני נוהג להתנצל.
* הכי גרוע זה להתחיל לדרג דברים.

   * השאיפה הגדולה שלי היא להיות האדם הכי פחות תחרותי.

   * מעולם לא הכחשתי משהו בצורה גורפת.

   * אני תמיד מקפיד לנסח דברים בשיא הצמצום, לא לחזור, לתמצת ככל שניתן,
להמעיט במילים ולא להכביר, חלילה. לקצר.

   * אז למה אתה אומר שאני לא מסוגל לקבל ביקורת ?זו פשוט השמצה נבזית, חסרת שחר.

 

  1. פרדוקס גרלינג-נלסון–  Grelling-Nelson Paradox 

     לפני שניגש לפרדוקס עצמו, כדאי להבהיר את משמעות המושגים "אוטולוגי" ו"הטרולוגי".

     טיעון (שאלה):
האם המושג "הטרולוגי" הוא הטרולוגי או אינו-הטרולוגי?

     ניתוח:
אם הוא הטרולוגי, הרי שהוא מתאר את המונח "הטרולוגי", ולכן הוא בעצם אוטולוגי, קרי אינו הטרולוגי.

אם הוא אינו הטרולוגי, הרי שלפי ההגדרה, הוא אינו מתאר את עצמו, שכן
"אינו הטרולוגי" לא יכול לתאר את "הטרולוגי". הגענו למסקנה ש"הטרולוגי", כאשר הנחנו
לגביו ש"אינו הטרולוגי" , אינו מתאר את "הטרולוגי", ולפיכך הוא אכן הטרולוגי.

     ניתן למצוא קווי-דמיון בי פרדוקס קלאסי זה של השפה הטבעית, לבין פרדוקס ראסל.

 

  1. פרדוקס גדל – Gödel’s Paradox

     "משפט זה אינו ניתן להוכחה"

     אם המשפט ניתן להוכחה, זו סתירה לטענה שאינו ניתן להוכחה.
אם המשפט אינו ניתן להוכחה, הרי זו סתירה, שכן הצלחנו להוכיח את עובדת היותו לא ניתן להוכחה.

 

  1. פרדוקס "אף תשובה אינה נכונה"

     יש לבחור את התשובה הנכונה לשאלה: "מהו היפוכה של המילה `טוב`?

     א. שחור.
ב. שמים.

     ג.  בסדר.
ד. אף תשובה אינה נכונה.

    ההיפך מ"טוב" הוא "רע", ומכיוון שאינו אחת מהאופציות, הרי שהאופציה המתאימה היא
ד. "אף תשובה אינה נכונה"

   וזו סתירה, משום שאם אף תשובה אינה נכונה, לא ניתן להגיד על תשובה כלשהי שהיא נכונה,
ובפרט לא על תשובה ד`.

 

  1. פרדוקס הערימה –  Heap Paradox, Sorites Paradox

     טיעון:
20 גרגרי חול אינם ערימה.
2000000000    גרגרי חול הם ערימה.

ניתוח:

     איפה עובר הגבול?  מהו הערך המספרי X עבורו אוסף של גרגרי חול
אינו נקרא "ערימה"?
הצגת הנושא עשויה להזכיר את השימוש בעקרון האינדוקציה המתמטית,
ואפילו אינדוקציה-לאחור, אם כי ההוכחה בוודאי תיכשל, שכן אין לנו
אפשרות להצביע על הנקודה הקריטית שיוצרת את השינוי והופכת
"ערימה" ל:"לא-ערימה" או להיפך.

ניסוחים שקולים:
כמה שערות על ראשו של אדם מספיקות כדי לקבוע שאינו קרח ?

לפררדוקס זה ישנן מספר ואריאציות המבוססות על תהליכים ושינויים זעירים ולא מורגשים ,
אשר יוצרים לבסוף שינוי אחד גדול.

     דוגמאות: פרדוקס הספינה של תסאוס והצורות הנוספות לפרדוקס, המובאות בעקבותיו.

  

  1. פרדוקס קרי – Curry`s paradox

     טיעון:
"אם אפשר לקרוא מה שכתוב כאן, אז ישראל נמצאת באירופה"

ניתוח:

ערך האמת של הטיעון מבוסס על טבלת האמת של קשר האימוז (אם- -> אז)

אם אכן הרישא של הטיעון אמיתית, וניתן לקרוא את הכתוב, הרי שישראל נמצאת באירופה.
המסקנה אינה נכונה כעובדה , אם כי תקפה לאור כללי-ההיסק של הלוגיקה ((Modus ponenes.
השאלה היא מה קורה כאשר לא ניתן לקרוא את הרישא של הטיעון? כלומר,
איזה ערך-אמת יינתן לטיעון אם הרישא שלו שקרית?

נשים לב כי הטיעון אינו מכיל "הוראות" לגבי מצב זה, אלא מתייחס למצב
בו הרישא אמיתית בלבד, ואכן ניתנת לקריאה.
לפיכך, כאשר הרישא שקרית (מתקיימת "על ריק"), הרי שלפי טבלת-האמת של קשר האימוז,
הטיעון אמיתי ללא תלות בערך האמת הניתן לסיפא.

מהדיון עד כה יוצא כי ללא תלות בערך האמת של של הרישא, הסיפא תמיד נכונה
ולפיכך הטיעון כמשפט – מקבל ערך-אמת אמיתי.

 

  1. פרדוקס ברי – Berry Paradox

    נתבונן במשפט : "המספר הטבעי הקטן ביותר שלא ניתן להגדירו בפחות מעשרים מילים"

     מספר המילים במשפט זה הוא עשר, כלומר ביטוי זה מצביע על שם מספר שדווקא כן
הצלחנו להגדיר אותו בפחות מ-20 מילים, ולכן סתרנו את עצמנו.

     דוגמא נוספת:

     המספרים הראשוניים הם מספרים מעניינים, ועל עובדה זו אין חולק.
כעת, נניח שמבין אינסוף המספרים הראשוניים קיים מספר אחד שהוא יותר שגרתי
מאשר מעניין.
האין עובדת היותו המספר השגרתי היחיד מבין כל המספרים המעניינים אינה הופכת
אותו למעניין אף במידה רבה יותר משאר המספרים המעניינים? 

 

  1. פרדוקס סוקרטס – Socratic Paradoxטיעון:
    "אני יודע שאינני יודע דבר"

ניתוח:
      הידיעה (העצמית) שאינני יודע דבר היא דוגמה למשהו שאני כן יודע, ולכן סותרת
את הטענה שאינני יודע דבר.

ניסוחים שקולים: 
      "אני לא יודע כלום"
"אני יודע שאינני יודע"

 

  1. פרדוקס "לכל כלל יש יוצא מן הכלל" – Exception paradox:


 טיעון:
האם לכלל "לכל כלל יש יוצא מן הכלל" יש יוצא מן הכלל?

 ניתוח:

אם אכן לכל כלל יש יוצא מן הכלל, הרי שגם לכלל "לכל כלל יש יוצא מן הכלל"
קיים יוצא מן הכלל, והיוצא מן הכלל של כלל זה הוא עצם קיומו של כלל
עבורו לא קיים יוצא מן הכלל, אחרת לא ניתן היה לדבר עליו כעל יוצא מן הכלל.

      כעת, מכיוון שקיים כלל עבורו לא קיים יוצא מן הכלל, הרי זוהי סתירה לטיעון
האומר כי לכל כלל יש יוצא מן הכלל.
מכך משתמע כי היוצא מן הכלל של הכלל שבבסיס הדיון הוא הכלל עצמו.

אמצעי הצגה פופולרי של פרדוקס זה הוא המשפט הבא:

          "לכל כלל יש יוצא מן הכלל, ואם יש כלל שאין לו יוצא מן הכלל,
אז זהו היוצא מן הכלל שאומר שלכל כלל יש יוצא מן הכלל"

 

  1. פרדוקס ראסל – Russell’s Paradox

טיעון:
"האם קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן, מכילה את עצמה?"

      ניתוח:
אם היא מכילה את עצמה, קיבלנו סתירה, שכן היא אמורה להכיל רק את הקבוצות

      שאינן מכילות את עצמן.
אם אינה מכילה את עצמה, הרי שלפי הרישא של הטיעון, היא כן הייתה אמורה לכלול את עצמה.

      הפרדוקס מתמטי ביסודו ומקורו בתורת הקבוצות הנאיבית.

ניסוחים שקולים:

      "האם קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן היא עצמה איבר בקבוצה זו?"

      "האם אפשרי קיומה של קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן?"

 

  1. פרדוקס הספר מסביליה –   Barber of Seville Paradox

טיעון:

     בכפר מסוים נקבע כי "הספר מספר רק את אותם האנשים שאינם מספרים את עצמם".

ניתוח:
      נשאלת השאלה: "מי מספר את הספר?"

נניח כי הספר מספר את עצמו.
קיבלנו סתירה, משום שהוא אמור לספר רק את האנשים שאינם מספרים את עצמם.

כעת נניח כי הספר אינו מספר את עצמו. שוב קיבלנו סתירה, שכן כעת הכלל שהונהג מתיר לו
להסתפר אצל הספר, קרי לספר את עצמו.

פרדוקס זה הינו המחשה לא-מתמטית לפרדוקס ראסל.

 

14פרדוקס קנטור– Kantor’s Paradox 


      טיעון: עוצמת כל קבוצה קטנה מעוצמתה שלה.
במילים פשוטות: בקבוצה בת N איברים ישנם פחות מ-N איברים.

ניתוח:
הפרדוקס מתמטי ביסודו ומקורו בתורת הקבוצות.
הקשר לשפה הטבעית נובע מעצם הגדרת המושג "קבוצה".

 

      קבוצת החזקה של קבוצה A מסומנת P(A)   ואיבריה הם
כל תתי-הקבוצות (קבוצות חלקיות) של קבוצה A.

לפי משפט קנטור, לקבוצה בת N איברים ישנן 2 תתי-קבוצות.

נתייחס לדוגמה הבאה:  לקבוצה A שבה 5 איברים ישנן 32  תתי-קבוצות.

במקרה זה נאמר כי עצמת הקבוצה A היא 5 ונסמן כך :    = 5 A| |, וכן
עצמת קבוצת החזקה של A היא 32, ונסמן כך: =  32    |P(A)|

קיבלנו, איפוא, כי מספר האיברים של קבוצת החזקה גדול ממספר האיברים של הקבוצה הנתונה.
ע"פ ההגדרה המתמטית של קבוצת החזקה כלל אין כאן סתירה, אם כי, ורק לכאורה,
השורה התחתונה נוגדת-אינטואיציה:
איך יתכן כי מספר האיברים של קבוצת הקבוצות החלקיות לקבוצה הנתונה גדול יותר
ממספר האיברים של הקבוצה הנתונה?

הפרדוקס עצמו מבוסס על שימוש חוזר במשפט קנטור:

      נגדיר קבוצה B כקבוצת כל הקבוצות.
משמע, איבריה של הקבוצה B הם כל הקבוצות הקיימות בעולמנו.

לפי משפט קנטור, מתקיים     |(B| < |P(B|     אבל מכיוון ש-(P(B) גם כן קבוצה

אחת מבין אלו שמוכלות ב-B, הרי ש: |P(B)| < |B|  ולכן קיבלנו:

  |B| < |P(B)| < |B|

      כאן הסתירה: האם ייתכן שעוצמת הקבוצה B קטנה מעוצמתה שלה?

במילים אחרות: האם ייתכן כי מספר המדינות בעולם קטן ממספר המדינות בעולם?

      ובאופן הפשוט ביותר: האם המספר 8 קטן מהמספר 8? 8>8 ?

"הקדמה" :

 בכל שפה טבעית – שפת האם הנרכשת מרגע הלידה – קיימת האפשרות לנסח
משפטים המתייחסים אל עצמם, קרי לטעון טענות על הטענות עצמן ולנסח משפט
המשקיף על הטענה מגבוה בניסיון להעניק לה ערך-אמת אמיתי או שקרי.

היווצרות הפרדוקס נובעת ישירות מהעובדה שכדי לדבר על השפה הטבעית,
עלינו לעלות לשפה פורמלית עשירה יותר שביכולתה לנתח שפה במדרג נמוך יותר ממנה.

במילים אחרות, קיים הבדל בין לטעון טענה לבין לחוות עליה דעה באמצעות משפט
שמספר עליה, שכן המשפטים אינם נושאי ערכי-אמת, אלא הטענות שהמשפטים מביעים –

 רק להן ניתן לייחס ערכי-אמת.

  סיווגם של הפרדוקסים אינו חד-חד-ערכי, משום שתחומי הדיון אליהם הם שייכים
אינם זרים זה לזה וכוללים קווי-דמיון משותפים.
לפיכך, נמנעתי מלעשות כן, ואת הניתוח המעמיק לגבי שורשי היווצרות הפרדוקס
והדרכים אשר הוצעו במהלך השנים בניסיון להתיר את הסבך, ניתן למצוא
בספר "פרדוקסים" מאת ענת בילצקי ובכתבות שפורסמו ע"י ד"ר מריוס כהן
  בכתב העת "גליליאו" במרוצת השנתיים האחרונות.
הספר "מהי לוגיקה" מאת ענת בילצקי מהווה דיון מקדים בנושאי תקפות טיעונים וכללי-היסק לוגיים.

.

מהם קווי הדמיון המשותפים לפרדוקסים שהוזכרו?

  1. אנו מנסים לנתח את המבנה הפנימי של טיעון מסוים בשפה הטבעית ולקבוע אם
    הוא אמיתי או שקרי, באותם מושגים המשמשים אותנו כדי לדבר (מבחוץ) על השפה הטבעית .

2. ההנחה שהטענה אמיתית תוביל למסקנה שהיא שקרית,
ואילו ההנחה שהטענה שקרית תוביל למסקנה שהיא אמיתית.
מעגל הקסמים המתואר נוצר מבעיות מילוליות של השפה הטבעית או מהנחות-יסוד בעייתיות.

3. כשאנו מנסחים משפט שמדבר על הטיעון, נוצר ניגוד בין המשמעות הסמנטית המוכתבת ע"י
הטיעון לבין משמעות המשפט שמדבר על הטיעון, ומכאן נובעת הסתירה המוזכרת בסעיף 2.
אנו נמצאים בתוךהשפה (שפת האובייקט)  ומנסים לדבר על השפה (מטה-שפה).

 כדי לפשט את ההסבר באמצעות דוגמה מוחשית יותר, ניעזר, איך לא,
בפרדוקס נוסף, מתחום חקר מדעי המוח.

במה משתמשים חוקרי המוח כדי לחקור את המוח? במוח. כלומר:
האיבר שבאמצעותו חוקר האדם את המוח, הוא המוח עצמו.

מדוע יש כאן בעיה? משום שהישות החוקרת את האובייקט, אמורה להיות בעלת כושר-עיבוד
גבוה יותר מזה של האובייקט הנחקר ולפקח עליו,
כדי לחקור את המח, נדרשת הבנה מטה-מוחית לגבי פעילות המח, ומי שאמור לספק תכונה זו
הוא המוח של החוקר עצמו.
כאן הבעייה: המח של החוקר והמח הנחקר על ידו "עשויים מאותם חומרים".

למה דומה הדבר?
נניח שאנו מתבקשים לכתוב ביקורת על ספר מסוים בכפוף לכלל הבא הבא:
"על הביקורת לכלול אך ורק ציטוטים מתוך הספר עצמו".
משמע, אנו נדרשים לדבר על הספר באותה שפה, וליתר דיוק, מתוך השפה בה משתמש הספר בעצמו.

970x90