סיכומים בהסתברות קלאסית: איחוד וחיתוך מאורעות, הסתברות מותנה,דיאגרמת עץ ונוסחת ברנולי

סיכום נושא הסתברות קלאסית בשאלונים 804+806 בבחינת הבגרות במתמטיקה.

השאלות בנושא "הסתברות קלאסית" בתכנית הלימודים ובבחינת הבגרות במתמטיקה
מתחלקות ל-4 קטגוריות עיקריות:

1. איחוד וחיתוך מאורעות.
2. הסתברות מותנה.
3. דיאגרמת עץ.
4. נוסחת ברנולי.

נביא להלן את הדרכים לשייך שאלה מסויימת לכל קטגוריה ואת הנוסחאות המתאימות,
באמצעות דוגמאות.

 

 

1. איחוד וחיתוך מאורעות.

          באופן כללי, איחוד, שסימנו U, מעיד על חיבור הסתברויות/מאורעות,
וחיתוך, שסימנו , מעיד על כפל הסתברויות.

    נוסחאות בסיסיות:

מאורע משלים                                                                                         P(A) = 1 – P(Ā)

אם Aו-Bמאורעות זרים, אזי                                                                          P(A∩B) = 0         
                                               ולכן                                           1  ≥  P(A) + P(B)   P(AUB) = 

אם Aו-Bמאורעות בלתי-תלויים, אזי                                             (A∩B) = P(A) * P(B)P

      P(A/B) = P(A)

 

 

          נוסחת איחוד המאורעות                                              P(A) + P(B)- P(AUB)    P(AUB) =  

מתי משתמשים? כשלאובייקט מסויים יש שתי תכונות במקביל.
נציג רק את החלק הרלוונטי ולא את השאלה כולה.

              שאלה:
בכיתה יש תלמידים גבוהים ותלמידים עם שער שחור.
ההסתברות שלתלמיד יש שיער שחור או  שהוא גבוה היא 0.53.
ניסוח שקול: ההסתברות שהתלמיד ניחן באחת משתי התכונות הללו (גבוה או שיער שחור)
היא 0.53.

              הדרך לפתרון:
נציב בנוסחה 0.53  במקום P(AUB). שאר הנתונים, לא כולם,  עבור הנוסחה יהיו בשאלה עצמה.

 

 

2. הסתברות מותנה.

          שאלות אלו נפתרות לרב ע"י טבלה דו-ממדית (לעיתים נוח יותר לפתור ע"י דיאגרמת עץ).
אין לשבץ בטבלה נתון על הסתברות מותנה, למשל P(A/B).

טבלה:

A’

A

P(B)

P(A’∩B)

P(A∩B)

B

P(B’)

P(A’∩B’)

P(A∩B’)

B’

1

P(A’)

P(A)

 

 

 

 

 

 

הרב המכריע של השאלות נפתר ע"י הנוסחה הנגזרת מנוסחת בייס.

בנוסחה זו, המאורע Aמייצג את ההסתברות המבוקשת תחת ההתנייה B.
ההתנייה תופיע תמיד מצד ימין של הסלאש (/) ללא תלות, כמובן, באות שנבחרה לייצג אותה.

זיהוי ההתנייה קל באמצעות מילות היחס המופיעות בשאלה:
מבין, מתוך, מ…, מקרב – הנושא המופיע לאחר מילות אלו ייצג את המאורע B.

דוגמא:
ההסתברות לבחור תלמיד גבוה מבין התלמידים בעלי השער השחור היא 0.52

לאחר המילה "מבין" מופיעים "התלמידים בעלי השער השחור" ולכן זה יהיה המאורע B
שהוא ההתנייה. המאורע יהיה ההסתברות לבחור תלמיד גבוה תחת התנייה זו.

 

 

3. דיאגרמת עץ.

הדרך לזיהוי שאלות מסוג זה היא להבחין שהמאורעות תלויים.
ההסתברות Pמשתנה במהלך התרגיל אפילו עבור אותו מאורע עצמו.

לרב השאלות המצריכות שרטוט דיאגרמת עץ לא תעסוקנה בניתוח
של יותר מ-3 אירועים תלויים. לעיתים רצוי לצייר בדיאגרמת העץ
רק את הענפים המבוקשים עליהם נשאלים.

שאלות קלאסיות בנושא עוסקות בהוצאת כדורים מן הכד ללא החזרה.
מכיוון שהכדור שהוצא אינו מוחזר לכד, הרי שמצבו של הכד שונה לאחר
ההוצאה ממצבו ההתחלתי, ולכן ההסתברות להוצאת כדור שני (בעל תכונה מסויימת)
תלויה (מושפעת ישירות) מתוצאת ההוצאה הקודמת.

דוגמא: אם בכד היו 5 כדורים צהובים ו-5 אדומים, ההסתברות להוציא כדור אדום היא 5/10.
נשאיר את הכדור האדום בחוץ. כעת ההסתברות להוצאת כדור אדום בשנית היא 4/9.

 

 

4. נוסחת ברנולי 
הדרך לזיהוי שאלות מסוג זה היא להבחין שהמאורעות בלתי-תלויים.
לאורך כל השאלה ההסתברות Pלהצלחה של מאורע כלשהו נשארת אכן P.

בשאלות מסוג זה מדובר בדרך כלל על מספר נסיונות גדול מ-3.
למשל, ההסתברות שתלמיד יעבור 7 מבחנים מתוך 10.

שאלות קלאסיות בנושא עוסקות בהוצאת כדורים מן הכד עם החזרה או 
בחירה של אנשים מתוך אוכלוסיה גדולה מאוד.

מכיוון שהכדור שהוצא מוחזר לכד, הרי שמצבו של הכד (מרחב המדגם)
זהה בכל פעם גם לאחר מספר ניסויים.
ההסתברות להוצאת כדור שני (בעל תכונה מסויימת) אינה תלויה (אינה מושפעת)
מתוצאת ההוצאה הקודמת.

דוגמא: אם בכד היו 5 כדורים צהובים ו-5 אדומים, ההסתברות להוציא כדור אדום היא 5/10.
נחזיר את הכדור האדום לכד. כעת ההסתברות להוצאת כדור אדום בשנית היא 5/10.

סימונים בנוסחת הבינום של ניוטון:
k-מספר ההצלחות.

-מספר הנסיונות.
p– ההסתברות להצלחה בניסיון בודד.

970x90