כללים לפתרון בעיות מתמטיות מילוליות: תנועה, אחוזים, כמותיות והנדסת המישור

כללים לפתרון בעיות אחוזים

הנוסחה: שלם * חלק היחסי = חלק מוחלט (תמורת האחוז)

התייקרות באחוזים:
1. אם המחיר המקורי X ויש התייקרות של 32%, המחיר החדש הוא 1.32X
התוצאה מתקבלת לאחר פישוט הביטוי הבא  x+(32x)/100.
המחיר המקורי ועוד התוספת שהיא 32%  מהמחיר המקורי.
2. אם המחיר המקורי X ויש התייקרות של 2%, המחיר החדש הוא 1.02X

הנחה באחוזים:
3. אם המחיר המקורי X ויש הנחה של 32%, המחיר החדש הוא 0.77X
התוצאה מתקבלת לאחר פישוט הביטוי הבא  x-(32x)/100.
4. אם המחיר המקורי X ויש הנחה של 2%, המחיר החדש הוא 0.98X

חישוב תמורת האחוז (חלק מהשלם):
5. כמה הם 32% מתוך X ? פתרון:       (32x)/100
Xהוא השלם. השלם יופיע לרוב לאחר מילית היחס "מ".

התייקרות והנחה לסירוגין עבור המחיר המקורי X.
בשני המקרים המחיר החדש נמוך יותר מהמחיר המקורי.
6. אם מעלים את המחיר המקורי ב-12%, ולאחר מכן מורידים ב-% 12,
אזי המחיר החדש הוא 1.21X*0.79 = 0.9559X
7. אם מורידים את המחיר המקורי  ב-12%, ולאחר מכן מעלים ב-% 12,
אזי המחיר החדש הוא 0.79X*1.21 = 0.9559X

בניית משוואה בבעיות אחוזים:
8. אם X מהווה  32%  מ-Y, המשוואה היא:  (32/100)*Y=X

9. איזה אחוז מהווה X מ-Yפתרון:  (X/Y)*100.
מכפילים פי 100 כדי לעבור משבר עשרוני לאחוזים.

ניסוחים שונים:
10. 30% הם 50. מהו השלם?   (100*50)/30
11. כמה אחוזים הם 50 מ-150?  (50/150)*100
12
. איזה חלק באחוזים מהווה 30 מתוך 20?  (30/20)*100

שלבים וכללים בפתרון בעיות כמותיות ובעיות כלכליות

1. ראשית, יש לבנות טבלה המציגה המציגה את המחיר ליחידה, הכמות (מספר היחידות)
והמחיר הכללי ששולם. במרבית השאלות הטבלה תכלול שתי קטגוריות שלגביהן
יחושבו המחריים. למשל: ריבה לעומת גבינה, צנצנות לעומת כוסות, מחברות לעומת עטים.

2. אם נתון המחיר המספרי של המוצרים, מסמנים בטבלה ואז את הכמות נצטרך לבטא
באמצעות נעלמים.

3. אם לא נתון המחיר המספרי של המוצר הראשון, נסמנו ב-X.
את מחיר המוצר השני נסמן ב-Yאם לא נתון כל מידע עליו ביחס למוצר הראשון.

מתי אין צורך להשתמש בשני נעלמים? דוגמה:
מחיר המוצר הראשון קטן פי 3 ממחיר המוצר השני. במקרה זה נסמן
את מחיר המוצר הראשון כ-X ואת מחיר המוצר השני כ-3X.

אחד הניסוחים שחוזרים על עצמם הוא:
"אדם קנה 20 בקבוקי יין משני סוגים……"

במצב זה יש לסמן את מספר הבקבוקים מהסוג הראשון בתור X
ואת מספר הבקבוקים מהסוג השני בתור 20X. אין צורך להשתמש בשני נעלמים.

4. פתרון השאלות מסוג זה מצריך שתי משוואות בשני נעלמים ולעיתים משוואה אחת בנעלם אחד.

 

 

 

 

כללים לפתרון בעיות תנועה

בעיות תנועה כוללות מגוון רחב של ניסוחים. עם זאת, ניתן למנות מספר
שלבים עיקריים החוזרים על עצמם במהלך פתרון הבעיות, וכמו כן
מספר סיפורים אופיניים המתארים את השתלשלות האירועים בבעיה.

הנוסחה:  מהירות  * זמן = דרך

 ראשית, יש לבנות טבלה עם שלוש עמודות: מהירות, זמן ודרך (מרחק).

1. בחלק מהשאלות תהיה נתונה המהירות כמספר ולא כנעלם, וזהו השיבוץ
הראשון והמיידי בטבלה שבנינו.
אם המהירות אינה נתונה כמספר, נגדיר אותה בתור X ונשבץ בטבלה.

    אם נתונים, נניח, שני רכבים בשאלה, שמהירויתיהם אינן ידועות,
לא לסמן אוטומטית X ו-Y, משום שאפשר להסתפק בנעלם אחד, כמו במקרה הבא:
"נתון כי מהירות הרכב הראשון גדולה פי 4 ממהירות הרכב השני"

אז השלב הראשון: שיבוץ המהירויות בטבלה, בתור מספרים או נעלמים.
הסיבה לכך: רוב השאלות מצריכות בניית משוואה שתייצג/תשווה בין הדרכים
אן הזמנים. כמעט ואין שאלות בהן בניית המשוואה עוסקת
בהשוואת מהירויות.

2. השלב השני משתנה משאלה לשאלה. לעיתים נוח יותר לשבץ נתונים בעמודת
הזמן בטבלה, ולעיתים בעמודת הדרך. זה תלוי במידת הפירוט של הנתונים בשאלה.

דוגמה ראשונה:
אם נתון כי הדרך שעבר הרכב הראשון גדול ב-30 מהדרך שעבר הרכב השני,
נשבץ את הנתונים בעמודת הדרך, ואז נוכל לחשב מיידית את עמודת הזמן
באמצעות הנוסחה: (דרך חלקי מהירות) = זמן.

דוגמה שנייה:
אם נתון כי הזמן שנסע הרכב הראשון גדול ב-3 שעות מהזמן שנסע הרכב השני,
נשבץ את הנתונים בעמודת הזמן, ואז נוכל לחשב מיידית את עמודת הדרך
באמצעות הנוסחה: מהירות*זמן = דרך

3. השלב השלישי הוא בניית המשוואה לפתרון הבעייה.
עפ"י הדוגמה הראשונה, המשוואה תעסוק בהשוואת זמנים.
עפ"י הדוגמה השנייה, המשוואה תעסוק בהשוואת דרכים.

4. במהלך שיבוץ היחידות בעמודת הזמן, חשוב להקפיד שכולן תיוצגנה לפי אותו פרק זמן.
אם הרכב הראשון נסע 3 שעות והשני נסע 20 דקות, אז עבור הרכב השני נמיר
את הזמן לשעות ע"י חלוקה ב-60 ונקבל: 20/60.

סוגים עיקריים של בעיות תנועה:

בעיות תנועה מתחלקות למספר סוגים (סיפורים) עיקריים.
ברגע שיודעים לשייך את הבעייה ואת הסיפור שמאחוריה לסוג מסוים,
קל יותר לבנות את המשוואה שתוביל לפתרון הבעייה.
הסוגים המפורטים אינם באים בצורה של בעיית תנועה עם כל הנתונים הדרושים לפתרון,
אלא הדגש הוא על סוג הסיפור המסופר בבעייה ולאיזה נתון צריך לשים לב.

1. שני רכבים יצאו באותה שעה ובאותו כיוון.
הראשון נסע במהירות גבוהה יותר ולכן הגיע ליעדו מוקדם יותר.
נקודה מרכזית: שני הרכבים עברו את אותה הדרך X. המשוואה תעסוק בהשוואת זמנים.

2. שני רכבים יצאו באותה שעה ובכיוונים מנוגדים.
הראשון נסע 3 שעות והשני 4 שעות, וסכום הדרכים שלהם הוא 400 ק"מ.
נקודה מרכזית: המשוואה תעסוק בחיבור דרכים.

3. שני רכבים יצאו לדרך. האחד בכיוון מזרח והשני בכיוון צפון.
לאחר מספר שעות, המרחק (האלכסוני) ביניהם הוא 100 ק"מ.
נקודה מרכזית: שימוש במשפט פיתגורס לחישוב הדרך של כל אחד בנפרד ולחישוב המרחק.

4. שני רכבים נוסעים אחד מול השני. האחד יוצא מ-Aוהשני יוצא מ-B.
המרחק בין A ל-B הוא 200 ק"מ.
נקודה מרכזית: עד לנקודת המפגש ביניהם, יעברו שני הרכבים ביחד 200 ק"מ.

5. מכונית נוסעת את הדרך הלוך, ולמחרת את אותה הדרך בחזרה.
מה שמשתנה מיום ליום הוא המהירות שגדלה/קטנה וזמן הנסיעה שלה קטן/גדל בהתאמה.
וכמו כן ייתכן שהיו אף מנוחות ועיכובים בדרך חזרה(מהירות 0 קמ"ש – בעיות אלו
מכונות בעיות עם חלוקה לשלבים).
נקודה מרכזית: הדרך הלוך שווה לדרך חזור.

6. שני רכבים יצאו מאותה נקודה. הרכב השני יצא 3 שעות אחרי הראשון ומכיוון
שמהירותו גבוהה פי 4, הוא השיג את הרכב הראשון שיצא לפניו בנקודה מסוימת.
נקודה מרכזית: עד לנקודת הפגישה עברו שני הרכבים את אותה הדרך.

 

 

 

 

כללים לפתרון בעיות מילוליות בהנדסת המישור (בעיות גיאומטריות)

ישנם מספר חוקים עיקריים שחוזרים על עצמם בפתרון בעיות מסוג זה.
בחלק מן השאלות דרוש שימוש בחוקי אחוזים, המפורטים מטה.

1.   תכונות בסיסיות של משולש, משולש שווה שוקיים, משולש שווה צלעות,
ריבוע ומלבן.
2.   שטחים והיקפים של משולש, משולש ישר זווית, ריבוע ומלבן.
3.   משפט פיתגורס יכול להועיל בחישובי צלעות עבור משולשים ישרי זווית.
4.   אלכסוני המלבן מחלקים אותו ל-4 משולשים שווי שוקיים ושווי שטח.
5.   אלכסוני המלבן שווים זה לזה וחוצים זה את זה.
6.   אלכסוני המקבילית מחלקים אותה ל-4 משולשים שווי שטח.
7.   במשולש שווה שוקיים, הגובה מזווית הראש הוא גם תיכון וגם חוצה זווית.
8.   במשולש ישר זווית, היתר הוא הצלע הארוכה ביותר
9.   בכל שאלה שבה נתון שטח של צורה גיאומטרית ונתון נוסף על אורך
צלע אן גובה, יש להציב את הנתונים בנוסחת השטח של אותה צורה.
10. אם רוחב מלבן הוא X, ושטחו 60, אז אורכו הוא 60/X
11. אם רוחב מלבן הוא X, והיקפו 60, אז אורכו הוא (60-2X)/2

12. אם נתון קטע שאורכו 50 מטרים, והוא מחולק לשני חלקים לא שווים,
נסמן חלק אחד כ-X ואת החלק השני 50X.

כאשר יש צורך לחישובי אחוזים בבעיות מסוג זה, אלו הכללים העיקריים:

הנוסחה: שלם * חלק היחסי = חלק מוחלט (תמורת האחוז)

הגדלה באחוזים

1. אם הצלע המקורית היא X ומגדילים אותה ב- 32%, הצלע החדשה היא 1.32X
התוצאה מתקבלת לאחר פישוט הביטוי הבא  x+(32x)/100.
הצלע המקורית ועוד התוספת שהיא 32%  מהצלע המקורית.
2. אם הצלע המקורית היא X ומגדילים אותה ב- 2%, הצלע החדשה
היא 1.02X

הקטנה באחוזים:
3. אם הצלע המקורית היא X ומקטינים אותה ב- 32%, הצלע החדשה היא 0.77X
התוצאה מתקבלת לאחר פישוט הביטוי הבא  x-(32x)/100.
4. אם הצלע המקורית  X ומקטינים אותה ב- 2%, הצלע החדשה היא 0.98X

בניית משוואה בבעיות אחוזים:
5. אם הצלע X מהווה  32%  מהצלע Y, המשוואה היא:  (32/100)*Y=X

6. איזה אחוז מהווה הצלע X מהצלע Y? פתרון:  (X/Y)*100.
מכפילים פי 100 כדי לעבור משבר עשרוני לאחוזים.


שלבים וכללים בפתרון בעיות כמותיות ובעיות כלכליות

1. ראשית, יש לבנות טבלה המציגה המציגה את המחיר ליחידה, הכמות (מספר היחידות)
והמחיר הכללי ששולם. במרבית השאלות הטבלה תכלול שתי קטגוריות שלגביהן
יחושבו המחריים. למשל: ריבה לעומת גבינה, צנצנות לעומת כוסות, מחברות לעומת עטים.

2. אם נתון המחיר המספרי של המוצרים, מסמנים בטבלה ואז את הכמות נצטרך לבטא
באמצעות נעלמים.

3. אם לא נתון המחיר המספרי של המוצר הראשון, נסמנו ב-X.
את מחיר המוצר השני נסמן ב-Yאם לא נתון כל מידע עליו ביחס למוצר הראשון.

מתי אין צורך להשתמש בשני נעלמים? דוגמה:
מחיר המוצר הראשון קטן פי 3 ממחיר המוצר השני. במקרה זה נסמן
את מחיר המוצר הראשון כ-X ואת מחיר המוצר השני כ-3X.

אחד הניסוחים שחוזרים על עצמם הוא:
"אדם קנה 20 בקבוקי יין משני סוגים……"

במצב זה יש לסמן את מספר הבקבוקים מהסוג הראשון בתור X
ואת מספר הבקבוקים מהסוג השני בתור 20X. אין צורך להשתמש בשני נעלמים.

4. פתרון השאלות מסוג זה מצריך שתי משוואות בשני נעלמים ולעיתים משוואה אחת בנעלם אחד.

970x90