אינדוקציות מתמטיות והוכחה באינדוקציה

מפורטים סוגי האינדוקציות המתמטיות העיקריים, והדגשים עבור כל סוג.

אינדוקציות רגילות

אינדוקציה של סכומים:   
דרוש שימוש בפירוק לגורמים וצמצומים.

אינדוקציה של שברים:   
דרוש שימוש בפירוק לגורמים, צמצומים ויצירת מכנה משותף לחלק מהמחוברים בביטוי.

אינדוקציה של חזקות:
דרוש שימוש בפירוק לגורמים (בעיקר הוצאת גורם משותף) וביישום חוקי החזקות .
בדר"כ נוציא גורם משותף מאגף אחד או משני האגפים, וכך נוכל 'לצמצם' ביטויים דומים.

אינדוקציה של מכפלות:
דרוש שימוש בכל הטכניקות האלגבריות שהוזכרו בסעיפים הקודמים.

אינדוקציה של עצרות:
מעבר לטכניקות האלגבריות שהוזכרו, כדאי לדעת את השוויונים הבאים, שעשויים
להקל בדרך אל הפתרון:

n!=(n-1)!n
(n+1)!=(n+1)n!
(n-1)!=n!/n

אינדוקציה עם סימנים מתחלפים:
זהויות שימושיות באלגברה של חזקות:

zzz                     (-1)n = -(-1)n+1
(-1)n+2=(-1)n


אינדוקציות שבהן נוסף יותר מאיבר אחד
מכיוון שבמעבר מ-n=k  ל-n=k+1 נוספים שני איברים לפחות (מה שחשוב: נוסף יותר מאיבר אחד),
בשלב הבדיקה יש לבדוק את נכונות הטענה לפחות עבור n=1,2 ולא כרגיל עבור n=1.

אינדוקציות המוכיחות זהויות טריגונומטריות
דרוש שימוש בזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות – פירוט כאן.

 

אינדוקציות בהן האיבר הראשון הוא משתנה ולא קבוע
במהלך ההוכחה, במעבר מ-n=k  ל-n=k+1, האיבר הראשון בטור, וייתכן שאף שני איברים ויותר-
נשמטים, ואילו לסוף הטור נוספים איבר חדש או מספר איברים חדשים.
לכן, בשלב ההוכחה יש "להחזיר" את האיברים החסרים ע"י הכפלה או הוספה של האיבר החסר בשני האגפים,
דבר אשר יקל עלינו בבואנו להשתמש בהנחת האינדוקציה.

 

אינדוקציות להוכחת תכונות התחלקות של מספרים טבעיים
דרוש שימוש בכל הטכניקות האלגבריות המוכרות שנזכרו למעלה.
 

אינדוקציות להוכחת אי-שוויונים
השלב החשוב הוא השלב בו משתמשים בהנחת האינדוקציה במונחים של "קל וחומר".
דוגמה להמחשה: אם צריך להוכיח ש-5>3, הנחת האינדוקציה תאפשר לנו להוכיח ש-5>4
וכך הגענו למסקנה חריפה יותר ממה שנדרשנו. לכן קל וחומר שהמסקנה הדרושה נכונה.

 

אינדוקציות להוכחת הנכונות של כללי נסיגה ע"פ התלכדות סדרות
הכלל העיקרי הוא שימוש בכלל הנסיגה של האיבר הכללי בשילוב עם הנחת האינדוקציה כדי לעבור במהלך ההוכחה, מ-n=k  ל-n=k+1, ולהגיע לדרוש.
ידע מינימלי בסדרות כלליות, חשבוניות והנדסיות  המוגדרות ע"פ כלל נסיגה יכול להועיל.

123
970x90