סיווג בניות עזר נפוצות בהנדסת המישור (גיאומטריה של המישור)

בניות עזר בהנדסת המישור נחוצות על מנת להוסיף לשאלה אפשרות לשימוש במשפט גיאומטרי מוכר.
בכל הספרים המוכרים של הנדסת המישור (גיאומטריה של המישור), השאלות בנושאים המתקדמים
יותר מצריכים שימוש בבניות עזר, החל מכאלו שנראות לעין כבר ממבט ראשון וכלה בשאלות
בהן צריכים לבדוק מספר בניות עזר, בפרט כשמדובר על העברת מיתרים במעגל.

 

בשלב ראשון, מוצגות בניות עזר נפוצות אותן אפשר לזהות בדר"כ מקריאה ראשונית של
נתוני השאלה, ע"פ מילות מפתח ש"מכוונות" היישר למשפט המתאים ולבניית העזר הרצויה.

בשלב השני, תינתנה בניות העזר הדרושות לפתרון שאלות נבחרות בהנדסת המישור
מהספרים הנדסה ב' של בני גורן, מתמטיקה 4 ו-5 יחידות לימוד שאלון 005 של בני גורן,
גיאומטריה של המישור של בני גורן,
מתמטיקה ל-5 יחידות של יואל גבע, מתמטיקה שאלון 005 חלק ב' של יואל גבע,
מתמטיקה לבגרות 4 ו-5 יח"ל שאלון 005 של אהרון אספיס,
גיאומטריה של המישור חלק ב' של אהרון אספיס.

 

1. נתון: קוטר במעגל.
בניית עזר: זווית הקפית הנשענת על קוטר, ושימוש במשפט:
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה.

 

2. נתון: מעגל עם רדיוס או מעגל חוסם משולש.
בניית עזר: חיבור רדיוס נוסף כדי ליצור משולש שווה שוקיים.
בהמשך ניתן להוריד גובה במשו"ש תוך שימוש באחד מן המשפטים הבאים:
במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר
וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.

 

3.   נתון: משיק למעגל.
בניית עזר: חיבור המשיק למרכז המעגל ע"י העברת קו רדיוס. כך נוצרת זווית ישרה בנקודת ההשקה.
המשפטים שיסייעו בפתרון שאלות עם משיק הם:
המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.

 

4.   נתון: משולש ישר-זווית.
בניית עזר: למעשה אין בניית עזר שהיא הכי נפוצה, אבל ישנם משפטים
שעשויים לסייע בפתרון עבור רב השאלות בנושא זה:
משפט פיתגורס, משפט התיכון ליתר, תכונותיו של משולש יפה (שלושים, שישים, תשעים)
במקרה ומתקיימים התנאים להגדרת משולש מסוג זה.

 
5.   נתון: קווים מקבילים.
בשאלות מסוג זה, העדיפות הראשונה היא לחפש זוויות מתחלפות שוות בין המקבילים.
חיפוש זוויות מתאימות שוות או חד-צדדיות המשלימות ל-1800 רק בעדיפות שניה.

 

6.   נתון: שתי צלעות שוות.
יש לבדוק אם קיימת צלע שלישית (שונה מהן) ש"סוגרת" משולש שווה שוקיים.
אם לא, תמיד אפשר לבנות אותה כבניית עזר ובהמשך אולי להוריד גובה
ולהשתמש במשפט שהוזכר בסעיף 2.
לחלופין, ייתכן ושתי הצלעות השוות תסייענה בחפיפת משולשים או שתשמשנה
בהמשך לחיבור/חיסור קטעים שווים בדרך לחפיפת משולשים.

 

7.   נתון: טרפז.
בניית עזר:  קו היוצא מאחד מקודקודי הבסיס העליון ומקביל לאחת משוקי הטרפז,
וכך נוצרת מקבילית (שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות)
בניית עזר נוספת היא שני גבהים מקודקודי הבסיס העליון לבסיס התחתון,
וכך נוצר מלבן ושני משולשים.
אם מדובר בטרפז שווה שוקיים, בניית העזר האחרונה  מייצרת
מלבן ושני משולשים חופפים.

 

8.  נתון: שני מעגלים חותכים אחד את השני.
     בניית עזר: מיתר משותף.
המיתר יכול ליצור, יחד עם מיתרים קיימים נוספים, מרובע חסום במעגל ואז שימוש
במשפט: במרובע חסום במעגל , סכום שתי זוויות נגדיות הוא 1800.

אם קיים גם משיק, אפשר להשתמש במשפטים שהוזכרו בסעיף 3.

 

9.  נתון: שני מעגלים משיקים אחד לשני.
     בניית עזר: העברת משיק משותף לשני המעגלים, ואז
שימוש באחד מן המשפטים הקשורים למשיק שהוזכרו בסעיף 3

 

10. נתון: משולש שווה-שוקיים.
בניית עזר: הורדת גובה/חוצה-זווית/תיכון  מזווית הראש, ושימוש במשפט:
במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.

 

11. נתון: זווית היקפית במעגל שהוא די "ריק" מנתונים.
בניית עזר: סימון מרכז המעגל ובנייה של זווית מרכזית שתישען על אותו/אותה מיתר/קשת
של הזווית ההיקפית.   שימוש במשפט:
במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.

 

12.  נתון: תיכון, אמצע קטע או כל רימוז אחר לקטע נחצה.
הנתונים יכולים לסייע באיתור קטע אמצעים במשולש/טרפז, אלכסונים נחצים במרובע
שעשוי להיות מקבילית/מלבן/מעויין/ריבוע.
בניית עזר: בשאלות שמובילות לשימוש בקטעי אמצעים,  ניתן להעביר קו ממחצית
הצלע של משולש (נתון בשאלה) שיקביל לבסיס המשולש, וכך ליצור קטע
אמצעים במשולש עפ"י המשפט:
ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שניה, חוצה את הצלע השלישית.

970x90
hmkjkjhlkjh.n