6. מרובעים: דלתון, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז וטרפז שווה שוקיים – הדגמה ויזואלית של המשפטים בגיאומטריה לבגרות

6. מרובעים: דלתון, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז וטרפז שווה שוקיים

21.   האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו.
 
           הנתונים:
            בדלתון ABCD, הקו הישר BD הוא האלכסון הראשי.
 
           המסקנה: 
            האלכסון הראשי בדלתון:
א) חוצה את זוויות הראש. כלומר, זווית CBD שווה לזווית ABD,
וז
ווית CDB שווה לזווית ADB.
            ב) חוצה את האלכסון השני. כלומר, AE=EC.
ג) מאונך לאלכסון השני. כלומר האלכסון BD מאונך לאלכסון AC.
זווית BEC שווה 900.

דגשים 
           הדלתון בשרטוט הוא דלתון קמור. המשפט נכון גם לגבי דלתון קעור, כמובן.

 
 

26.   במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
 
           הנתונים:
           מקבילית  ABCD.
 
           המסקנה: 
            שני זוגות הזוויות הנגדיות שוות זו לזו. כלומר,
זווית B = זווית D

            זווית A = זווית C

דגשים 
           כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו גם במלבן, מעוין וריבוע.

27.   במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
 
           הנתונים:
           מקבילית  ABCD.
 
           המסקנה:
            שני זוגות הצלעות הנגדיות שוות זו לזו. כלומר,
            AD = BC
            AB = DC


דגשים 
           כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו גם במלבן, מעוין וריבוע.

28.   במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
 
           הנתונים:
           מקבילית  ABCD.
 
           המסקנה:
            שני האלכסונים חוצים זה את זה בנקודת המפגש E. כלומר,
            BE = ED
            AE = EC

דגשים 
           האלכסונים חוצים זה את זה גם  במלבן, מעוין וריבוע.

 
29.   מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
 
           הנתונים:
           מרובע  ABCD.
           שני זוגות הזוויות הנגדיות שוות זו לזו. כלומר,
           זווית B = זווית D
           זווית A = זווית C

המסקנה: 
           מרובע ABCD הוא מקבילית.

דגשים 
           לא ניתן להוכיח באמצעות קיום כל זוג זוויות נגדיות שוות  שהמרובע הוא מלבן, מעוין או ריבוע..

30.   מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
 
           הנתונים:
           מרובע  ABCD.
           שני זוגות הצלעות הנגדיות שוות זו לזו. כלומר, 
AD = BC
           AB = DC
 
           המסקנה: 

           מרובע  ABCD הוא מקבילית.


דגשים 
           לא ניתן להוכיח באמצעות קיום כל זוג צלעות נגדיות שוות  שהמרובע הוא מלבן, מעוין או ריבוע..

31.   מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
 
           הנתונים:
           מרובע  ABCD.

           במרובע זה, רק זוג צלעות אחד שות ומקבילות. כלומר,
           AB = CD
           AB  || CD
           המסקנה: 
           מרובע  ABCD. הוא מקבילית.



דגשים 
           לא ניתן להוכיח באמצעות קיום זוג צלעות נגדיות ושוות שמרובע הוא מלבן, מעוין או ריבוע..
 
32.   מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
 
           הנתונים:
           מרובע ABCD.
            האלכסונים AC ו-BD חוצים זה את זה בנקודת המפגש E. כלומר,
            BE=ED וגם AE=EC.
 
           המסקנה: 
           מרובע ABCD הוא מקבילית.   
 


דגשים 
           האלכסונים חוצים זה את זה גם בדלתון, מלבן, מעוין וריבועו, אך לא בטרפז או בטרפז שווה שוקיים.

33.   במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות.
 
           הנתונים:
           AC ו-BD הם אלכסונים במעוין ABCD.
 
           המסקנה:
            האלכסונים חוצים את ארבע זוויות המעוין.
מאחר שהזוויות הנגדיות במעוין שוות, נקבל את השוויונות הבאים:
            זווית ABD = זווית CBD = זווית ADB = זווית CDB.
            זווית BAC = זווית DAC = זווית BCA = זווית DCA.
 

 
דגשים 
           האלכסונים חוצים את הזוויות בריבוע, אך לא במקבילית, מלבן או טרפז.
 

34.   מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
 
           הנתונים:
           ABCD מקבילית.
           האלכסון AC חוצה את זווית C. כלומר,
זווית BCA שווה לזווית DCA.
           המסקנה: 
            המקבילית ABCD היא מעוין.



דגשים
 

           האלכסונים חוצים את הזוויות בריבוע, אך לא במקבילית, מלבן או טרפז.

35.   במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה.
 
           הנתונים:
           ABCD מעוין.
אלכסוני המעוין הם AC ו-BD.
           המסקנה: 
            האלכסונים מאונכים זה לזה. כלומר:
האלכסון BD ניצב לאלכסון AC. זווית BEC=
900.



דגשים
 

           האלכסונים מאונכים זה לזה גם בריבוע, אך לא  במלבן ובמקבילית.

36.   מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.
 
           הנתונים:
           ABCD מקבילית.
אלכסוני המקבילית AC ו-BD מאונכים זה לזה.
           המסקנה: 
            המקבילית ABCD היא מעוין.


 
דגשים 
           האלכסונים מאונכים זה לזה גם בריבוע, אך לא במלבן ובמקבילית.

37.   אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
 
           הנתונים:
           ABCD מלבן.
אלכסוני המלבן הם  AC ו-BD.
           המסקנה: 
            אלכסוני המלבן שווים זה לזה. כלומר, AC=BD.
.
דגשים 
           האלכסונים שווים זה לזה גם בריבוע, אך לא במקבילית ומעוין.

38.   מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.
 
           הנתונים:
           ABCD מקבילית.
אלכסוני המקבילית שווים זה לזה, כלומר AC=BD.
           המסקנה: 
            המקבילית ABCD היא מלבן.


דגשים 
           האלכסונים שווים זה לזה גם בריבוע, אך לא במקבילית ומעוין.
 
39.   בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
 
           הנתונים:
           ABCD טרפז שווה שוקיים.
           המסקנה: 
            הזוויות שליד אותו בסיס שוות, כלומר:
עבור הבסיס העליון – זווית B שווה לזווית C.
            עבור הבסיס התחתון – זווית A שווה לזווית D.


דגשים 
           מתכונה זו נובע כי טרפז שווה שוקיים ניתן לחסימה במרובע, שכן קיים
זוג של זוויות נגדיות שסכומן 
1800.

ר' תכונת חלוקת האלכסונים של טרפז שווה שוקיים בסעיף "איך מוכיחים".

 
40.   טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
 
           הנתונים:
           ABCD טרפז.
 הזוויות שליד אותו בסיס שוות, כלומר:

            עבור הבסיס העליון – זווית B שווה לזווית C.
            עבור הבסיס התחתון – זווית A שווה לזווית D.

           המסקנה: 
            הטרפז ABCD הוא טרפז שווה שוקיים.


דגשים 
           מתכונה זו נובע כי טרפז שווה שוקיים ניתן לחסימה במרובע, שכן קיים
זוג של זוויות נגדיות שסכומן 
1800.

ר' תכונת חלוקת האלכסונים של טרפז שווה שוקיים בסעיף "איך מוכיחים".

 
 
41.   בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
 
           הנתונים:
           ABCD טרפז שווה שוקיים.

המסקנה: 
            האלכסונים שווים זה לזה, כלומר AC=BD.


דגשים 
ר' תכונת חלוקת האלכסונים של טרפז שווה שוקיים בסעיף "איך מוכיחים".


 
42.   טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.
 
           הנתונים:
           ABCD טרפז.
אלכסוני הטרפז שווים זה לזה, כלומר AC=BD.

המסקנה: 
            הטרפז ABCD הוא טרפז שווה שוקיים.


דגשים 
ר' תכונת חלוקת האלכסונים של טרפז שווה שוקיים בסעיף "איך מוכיחים".
 
 
43.   קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
 
           הנתונים:
           EF הוא קטע אמצעים בטרפז ABCD, כלומר BE=EA וגם CF=FD.
           המסקנה: 
            הקטע EF מקביל לבסיסי הטרפז, כלומר: EF || BC || AD.
            הקטע EF שווה למחצית סכום הבסיסים. בדוגמה שלנו:  8=2/(13+3)=EF


 
דגשים 
           הנתונים BE=EA וגם CF=FD לבדם מספיקים לקבוע שהקטע EF הוא קטע האמצעים בטרפז.

           בטרפז קיים רק קטע אמצעים אחד ויחיד.
 
 
 
 
44.   בטרפז, ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, חוצה את השוק השנייה.
           הנתונים:
           EF הוא ישר החוצה את השוק CD, כלומר: CF=FD.
          הקטע EF מקביל לבסיסי הטרפז, כלומר: EF || BC || AD.
           המסקנה: 
            הקטע EF חוצה את השוק השנייה, BA, כלומר: BE=EA.


 
דגשים 
           מכך יוצא כי למעשה הוכחנו שהקטע EF הוא קטע אמצעים בטרפז ABCD.

           בטרפז קיים רק קטע אמצעים אחד ויחיד.

970x90