5. נקודות וקטעים מיוחדים במשולש: מפגש תיכונים/גבהים/חוצי זוויות, קטע אמצעים – הדגמה ויזואלית של המשפטים בגיאומטריה לבגרות

5. נקודות וקטעים מיוחדים במשולש: מפגש תיכונים/גבהים/חוצי זוויות, קטע אמצעים

14.    קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

           הנתונים:
            הקטע DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC, כלומר,
CD=DB וגם CE=EA.
           המסקנה: 
הקטע DE מקביל לצלע השלישית BA (אותה אינו חותך) ושווה
למחצית אורכה, כלומר: DE = (1/2)*BA או בכתיב אחר:
DE*2 = BA



 
דגשים:
           על מנת להגדיר את DE כקטע אמצעים,
מספיקה העובדה שקטע זה חוצה את הצלעות CA ו-CB.

במשולש אחד קיימים 3 קטעי אמצעים, כך שכל קטע מקביל
לצלע אחרת של המשולש.
 
15.    ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע השניה, חוצה את הצלע השלישית.
 
               הנתונים:
            הקו הישר DE חוצה צלע אחת במשולש ABC. כלומר, CD=DB.
כמו כן, קו זה מקביל לצלע BA. כלומר, DE || BA. 
           המסקנה:  
הקו הישר DE חוצה גם את הצלע השלישית.
כלומר, CE=EA.

 

 
דגשים:
           פועל יוצא מכך הוא המסקנה כי הקו הישר DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

 
           במשולש אחד קיימים 3 קטעי אמצעים, כך שכל קטע מקביל
לצלע אחרת של המשולש.
 
 
16.    קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים.
           הנתונים:
            קצותיו של הקטע DE נמצאים על CB ו-CA, שתי צלעות המשולש ABC.
כמו כן, DE || BA ובנוסף DE שווה למחצית הצלע AB.
כלומר, 
DE = (1/2)*BA או בכתיב אחר: DE*2 = BA.

           המסקנה: 
הקטע DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC.
 
 

 
דגשים:
           במשולש אחד קיימים 3 קטעי אמצעים, כך שכל קטע מקביל
לצלע אחרת של המשולש.
 
 

45.   שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
           הנתונים:
            במשולש ABC נתונים התיכונים AD, BE ו-CG
לצלעות  AC, BC ו-AB בהתאמה.

           המסקנה: 
נקודה F היא נקודת המפגש היחידה של שלושת התיכונים.
 

 
דגשים 
ר' משפט

46.   נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 , 
         כך שהחלק הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהחלק האחר.

           הנתונים:
            במשולש ABC נתונים התיכונים AD, BE ו-CG
לצלעות  AC, BC ו-AB בהתאמה.
           המסקנה: 
כל תיכון מחולק ביחס 1:2, כלומר: חלקו הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהחלק האחר.
נדגים זאת באמצעות הנתונים בשרטוט:
התיכון CG מחולק לשני קטעים: CF=4 ואילו FG=2.
התיכון AD מחולק לשני קטעים: AF=10 ואילו FD=5.
התיכון BE מחולק לשני קטעים: BF=6 ואילו FE=3.


דגשים 
ר' משפט
 
 
47.   כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו.
           הנתונים:
            הישר AD הוא חוצה זווית CAB.
           המסקנה: 
הנקודה E על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
כלומר, GE=EF.

 
 
 
דגשים 
ר' משפט
 
48.   אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משתי שוקי זווית, אז היא נמצאת על חוצה הזווית.

           הנתונים: 
הנקודה E על הישר AD במרחקים שווים משוקי הזווית.
כלומר, GE=EF.

           המסקנה:
            הישר AD הוא חוצה זווית CAB.

 

 


דגשים 
ר' משפט
 
 
51.   כל נקודה הנמצאת על אנך אמצעי של קטע, נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
           הנתונים:
            במשולש ABC הנקודה E נמצאת על DF, האנך האמצעי לקטע AB.
           המסקנה: 
במשולש ABC, הנקודה E נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע AB.
            כלומר, BE=EA.

 

 
דגשים 
המרחק הדרוש הוא המרחק מהנקודה E לקצות הקטע,
ולכן אין מדובר במרחק נקודה מישר, בו אנו נדרשים להוריד גובה לישר. 
 
 
52.   כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע, נמצאת על האנך האמצעי לקטע.

           הנתונים: 
במשולש ABC, הנקודה E נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע AB.
            כלומר, BE=EA.

           המסקנה:
            במשולש ABC הנקודה E נמצאת על DF, האנך האמצעי לקטע AB.

 
 
דגשים 
המרחק הדרוש הוא המרחק מהנקודה E לקצות הקטע,
ולכן אין מדובר במרחק נקודה מישר, בו אנו נדרשים להוריד גובה לישר. 
 
55.   שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
           הנתונים:
            במשולש ABC נתונים הגבהים  AD, BE ו-CG
לצלעות  BC, AC ו-AB בהתאמה.
           המסקנה: 
נקודה F היא נקודת המפגש היחידה של שלושת הגבהים.
 

 
דגשים 
ר' משפט
970x90