4. משולש ישר זווית ומשפט פיתגורס – הדגמה ויזואלית של המשפטים בגיאומטריה לבגרות

  1. משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

 

הנתונים: 

משולש ישר-זווית ABC.

 

המסקנה: 

סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, כלומר:

(הניצב בריבוע) + (הניצב בריבוע) = (היתר בריבוע),

AB)2+(BC)2=(AC)2)

.

 

דגשים 

המשפט שימושי בהחלט גם בנושאים מתקדמים (פרופורציה ודמיון),

שכן לעיתים שימוש בו יכול להיות קל יותר מאשר שימוש ביחסי פרופורציה

בין משולשים דומים.

  1. משפט פיתגורס ההפוך: משולש בו סכום ריבועי שתי הצלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית.

 

הנתונים: 

משולש ABC.

סכום ריבועי שתי הצלעות, AB ו-BC, שווה לריבוע הצלע השלישית, AC, כלומר:

AB)2+(BC)2=(AC)2)

.

המסקנה: 

משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

דגשים 

ר' משפט.

  1.   במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

הנתונים: 

משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

AD תיכון ליתר BC (כלומר, BD=CD).

 

המסקנה: 

התיכון AD שווה למחצית היתר, כלומר:

AD=BD=DC.

דגשים:

אין קשר בין משפט זה לבין משולש 300-600-900

התיכון ליתר יוצר שני משולשים שווי שוקיים.

.

  1.   משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית.

הנתונים: 

במשולש ABC, התיכון AD לצלע BC, שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה.

כלומר, AD=BD=DC.

 

המסקנה: 

משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

דגשים:

אין קשר בין משפט זה לבין משולש 300-600-900

התיכון ליתר יוצר שני משולשים שווי שוקיים.

.

  1.   אם במשולש ישר זווית, זווית חדה של 30, אז הניצב מול זווית זו שווה למחצית היתר.

הנתונים: 

משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

גודלה של הזווית החדה  A הוא 30.

 

המסקנה: 

הניצב מול הזווית החדה שגודלה 300, שווה למחצית היתר.

כלומר, BC = (1/2)*AC, ובכתיב אחר: BC*2 = AC.

דגשים:

ר' משפט

  1.   אם במשולש ישר זווית ניצב שווה למחצית היתר, אז מול ניצב זה זווית שגודלה 30.

הנתונים: 

משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

הניצב BC שווה למחצית היתר AC.

כלומר, BC = (1/2)*AC, ובכתיב אחר: BC*2 = AC.

המסקנה: 

גודלה של הזווית החדה מול ניצב זה, זווית A, הוא 300.

דגשים:

ר' משפט

  1. במשולש ישר זווית, הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר.

הנתונים: 

משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

 

המסקנה: 

  1. הניצב AC הוא ממוצע הנדסי של היתר BC, ושל

CD, היטל ניצב זה על היתר.

AC)2=BC*CD)

  1. הניצב AB הוא ממוצע הנדסי של היתר BC, ושל

BD, היטל ניצב זה על היתר.

AB)2=BC*BD)

דגשים 

ר' משפט

  1. הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר.

הנתונים: 

משולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

 

המסקנה: 

הגובה AD הוא ממוצע הנדסי של BD ושל CD,  שהם היטלי

הניצבים (AB ו-AC בהתאמה)  על היתר BC.

AD)2=BD*CD)

 

 

דגשים 

ר' משפט

970x90