טבלת סוגי המספרים – ניסיון קישורים פנימיים

 

 

 

טבלת סוגי המספרים

 

 

 

מספר הארדי-רמנוג'אן
Hardy–Ramanujan Number
מספר הארדי-רמנוג'אן, 1729, הוא המספר הקטן ביותר שניתן להצגה בשני אופנים שונים כסכום של שני מספרים מעוקבים חיוביים:   13+123=93+103=1729.
1729 הוא המספר השלישי בסדרת מספרי קרמייקל וגם מספר ראשוני למחצה בשלושה בסיסים: 2, 3 ו-5.
למספר זה תכונות נוספות. ר' מספרי הארשאד.
מספרי ארמסטרונג
Armstrong Numbers
מספר ארמסטרונג הוא מספר בעל n ספרות השווה לסכום ספרותיו כאשר כל אחת מועלית בחזקת n.
מספרי ארמסטרונג לדוגמה:  153, 370, 371, 407, 1634, 8208

153 הוא מספר ארמסטרונג משום ש- 13+53+33=153. ר' מספרים נרקיסיסטיים.

מספרי בל
Bell Numbers
מספרי בל מייצגים את סכום החלוקות האפשריות של קבוצה בת n איברים ל-k
תתי קבוצות לא ריקות (אין חשיבות לסדר האיברים בכל תת קבוצה).
למעשה, על פי הגדרתם של מספרי בל, קיים קשר הדוק בינם לבין מספרי סטירלינג מסוג שני, וניתן לומר
כי מספר בל ה-n-י סוכם את מספר האפשרויות של חלוקת n איברים ל-k   תתי-קבוצות לא ריקות,
כאשר 1<=k<=n.
כאמור, מספרי סטירלינג מסוג שני מייצגים את מספר החלוקות של קבוצה בת n איברים ל-k
תתי קבוצות כאשר אין חשיבות לסדר האיברים בכל תת קבוצה.
סדרת מספרי בל1,2,5,15,51,203…
המשמעות של מספר בל הרביעי, 15, היא שסכום האפשריות לחלק קבוצה בת 4 איברים לתת-קבוצה
אחת או שתי תתי-קבוצות או שלוש תתי-קבוצות או ארבע תתי-קבוצות מסתכם ב-15.

נדגים זאת:  נניח שנתונה קבוצה בת 4 איברים:  {a,b,c,d}  אזי

S(4,1)={{a,b,c,d}}
S(4,2)={{{a},{b,c,d}},{{b},{a,c,d}},{{c},{a,b,d}},{{d},{a,b,c}},{{a,b},{c,d}},{{a,c},{b,d}},{{a,d},{b,c}}}
S(4,3)={{{a},{b},{c,d}},{{a},{c},{b,d}},{{a},{d},{b,c}},{{b},{c},{a,d}},{{b},{d},{a,c}},{{c},{d},{a,b}}}
S(4,4)={{a},{b},{c},{d}}}

קרי  B4=S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)=1+7+6+1=15
ארבעת המחוברים הם מספרי סטירלינג מסוג שני.

מספרי בראון
Brown Numbers
מספר בראון הוא מספר מהצורה x!+1=y2, קרי העצרת של המספר ועוד אחד שווה למספר ריבועי.
מספרי בראון לדוגמה:  7!+1=712, 4!+1=52
מספרי הארשאד
Harshad Numbers
נקראים גם מספרי ניבן (Niven Numbers)
מספר הארשאד הוא מספר שמתחלק בסכום ספרותיו.
מספרי הארשאד לדוגמה: 1458, 1729.
סכום ספרותיו של המספר 1729 הוא 19, ואכן 19 הוא אחד ממחלקיו של 1729.
1729 הוא המספר הגדול שגם המספר בהיפוך ספרותיו, 9271, מתחלק בסכום ספרותיו.
קיים רק עוד מספר אחד כזה והוא 1458.
מספרי הארשאד ידידים
Harshad Amicable Pairs
זוג מספרי הארשאד ידידים הם שני מספרים ידידים שכל אחד מהם הוא מספר הארשאד.
זוג מספרי הארשאד ידידים לדוגמה: (2610,2924).
אלו מספרים ידידים משום שסכום המחלקים של 2610 לא כולל עצמו הוא 2924,
וסכום המחלקים של 2924 לא כולל עצמו הוא 2610
אלו מספרי הארשאד משום ש-2610 מתחלק בסכום ספרותיו (10) ו-2924 מתחלק גם כן בסכום ספרותיו (17) .

זוג מספרי הארשאד שמורכב ממספרים מאושרים לדוגמה: (10854650,10572550).

מספרי מזל
Lucky Number
מספר מזל הוא מספר טבעי, איבר בקבוצת מספרים הנותרת בסוף תהליך של ניפוי מספרים,
כדוגמת התהליך המבוצע באמצעות נפת ארטוסתנס.
מספרי מרסן ומספרי מרסן ראשוניים
Mersenne Numbers/ Mersenne Prime
מספר מרסן הוא מספר טבעי מהצורה Mn=2n-1.
(ישנה ההגדרה מחמירה יותר המצריכה את היותו של n מספר ראשוני).

אם n מספר פריק, אז מספר מרסן המתקבל פריק אף הוא.
אם n מספר ראשוני, אז מספר מרסן המתקבל יתכן שיהיה מספר ראשוני או פריק.
למשל, עבור n=3 נקבל M3=7 וזהו מספר מרסן ראשוני, ואילו
עבור n=11 נקבל M11=2047 וזהו מספר מרסן פריק.

אם מספר מרסן הוא ראשוני, אז n יכול להיות ראשוני או פריק.
דוגמה: M3=31 ראשוני ו-3 ראשוני.  M4=127 ראשוני ו-4 פריק.
המספרים הראשוניים הידועים כיום כגדולים ביותר הם מספרי מרסן,
וכפועל יוצא, הנוסחה שמצא מרסן מתקיימת בהם.
סדרת מספרי מרסן עבור n  ראשוני:… 3,7,31,127,2047,8191

באמצעות הנוסחה 2n-1(2n-1) ניווכח לדעת שכל מספר מרסן ראשוני מייצר מספר משוכלל.
למשל, המספר המשוכלל המתאים למספר מרסן ראשוני 7 הוא 28, וזאת עבור הצבת n=3.
המספר החמישי של מרסן, 31, מוביל למספר המשוכלל השלישי, 496.

מספר מרסן ראשוני הוא מספר מרסן שאינו פריק.
אם מספר מרסן הוא מספר ראשוני, אז  n מספר ראשוני. המשפט ההפוך אינו נכון.
במילים אחרות: היותו של n מספר ראשוני הוא תנאי הכרחי אך לא מספיק להבטחת ראשוניותו של Mn.
דוגמה: M11=2047    אינו ראשוני, אך M7=127 ראשוני.
אם Mn  הוא מספר מרסן ראשוני, אז  Mn(Mn+1)/2 הוא מספר משוכלל.
דוגמא: עבור n=3 נקבל M3=7 שהוא מרסן ראשוני, והמספר המשוכלל המתקבל בעקבותיו לפי
הנוסחה שהוצגה הוא 28.  כל מספר מרסן ראשוני מייצג למעשה מספר משוכלל. בניסוח כללי:
כאשר מספר מרסן, המיוצג על ידי 1-k2, הוא מספר ראשוני, אזי הביטוי (1-k2)k-12 הוא מספר משוכלל.

אאוקלידס היה מודע לכך שכל המספרים המשוכללים העונים לנוסחה זו הם מספרים זוגיים. כאלפיים שנה לאחר מכן הוכיח אוילר, בעבודה שנתגלתה בשנת 1849, אחרי מותו, שכל מספר משוכלל זוגי הוא בהכרח בעל צורה זו.

למרסן, שניסה למפות את כל מספרי מרסן הראשוניים, היו חמש טעויות בלבד: שני מספרים ברשימתו (M67 ו- M257)
הוכחו כפריקים, ושלושה מספרים (M61, M89 ו-M107), שהיו צריכים להיכלל ברשימתו, לא נכללו בה.

סדרת מספרי מרסן הראשוניים: 3,7,31,127,8191,131071…

שאלות פתוחות:
האם קיימים אינסוף מספרי מרסן ראשוניים.

ידוע לנו שמספרים משוכללים זוגיים הם תוצאה של מכפלת מספרי מרסן ראשוניים בחזקות של שתיים. לא ידוע לנו אם קיימים בכלל מספרים משוכללים אי-זוגיים, אבל אם קיים מספר משוכלל כזה, הרי הוא צריך להיות מספר עצום בממדיו בעל 75 גורמים ראשוניים לפחות. הראשון שהעלה את אפשרות קיומם של מספרים משוכללים אי-זוגיים היה דקרט, במכתב ששלח למרסן בשנת 1638.

לא ידוע אם קיימים אינסוף מספרי מרסן ראשוניים. כיוון שקיים יחס של אחד לאחד בין מספרים אלה למספרים משוכללים (כלומר כל מספר ראשוני נותן מספר משוכלל, ולהפך) משפט זה יכול גם להתנסח כך: לא ידוע אם קיימים אינסוף מספרים משוכללים.

מספרי סטירלינג מסוג ראשון
Stirling Numbers Of The First Kind
מספרי סטירלינג מסוג ראשון מייצגים את מספר החלוקות של קבוצה בת n איברים ל-k
תמורות ציקליות זרות.

הדגמה של משמעות התמורה הציקלית. נניח שנתונה קבוצה בת 4 איברים:  {a,b,c,d}  אזי
תמורה ציקלית אחת היא {(a),(b,c,d)} ותמורה זו שקולה לתמורה   {(a),(c,d,b)}
משום שהמחרוזת  bcd היא תמורה ציקלית של המחרוזת cdb:

bcdbcdbcdbcd.
מסיבה זאת, התמורה הציקלית הנדונה {(a),(b,c,d)} אינה שקולה לתמורה   {(a),(b,d,c)}
הדגמת מספרי סטירלינג מסוג ראשון – נניח שנתונה קבוצה בת 4 איברים:  {a,b,c,d}  אזי
מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת 4 איברים לשתי תמורות ציקליות זרות הוא 11 על פי הפירוט הבא:
S(4,2)={(a,b),(c,d)}, {(a,c),(b,d)}, {(a,d),(b,c)}, {(a),(b,c,d)}, {(a),(c,b,d)}, {(b),(a,c,d)}, {(b),(a,d,c)},
{(c),(a,b,d)}, {(c),(a,d,b)}, {(d),(a,b,c)}, {(d),(a,c,b)}
זהויות עבור מספרי סטירלינג מסוג ראשון ומספרי סטירלינג מסוג שני:

S(n,0)=0
S(0,k)=0
S(0,0)=1
S(n,n)=1
S(n,k)=0, k<=n

מספרי סטירלינג מסוג שני
Stirling Numbers Of The Second Kind
מספרי סטירלינג מסוג שני מייצגים את מספר החלוקות של קבוצה בת n איברים ל-k
תתי קבוצות לא ריקות (אין חשיבות לסדר האיברים בכל תת קבוצה).

ניסוח שקול: מספר סטירלינג מסוג שני מייצג את מספר האפשרויות לפזר  k כדורים שונים לתוך
n תאים זהים, כך שבכל תא ישנו לפחות כדור אחד (אין חשיבות לסדר הכדורים בתוך התא).

קיים קשר הדוק בין מספרי סטירלינג מסוג שני לבין מספרי בל, אשר סוכמים את מספרי סטירלינג.

הדגמת מספרי סטירלינג מסוג שני – נניח שנתונה קבוצה בת 4 איברים:  {a,b,c,d}  אזי

מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת 4 איברים לתת-קבוצה אחת לא ריקה הוא 1:

S(4,1)={{a,b,c,d}}
מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת 4 איברים לשתי תתי-קבוצות לא ריקות הוא 7:

S(4,2)={{{a},{b,c,d}},{{b},{a,c,d}},{{c},{a,b,d}},{{d},{a,b,c}},{{a,b},{c,d}},{{a,c},{b,d}},{{a,d},{b,c}}}
מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת 4 איברים לשתי תתי-קבוצות לא ריקות הוא 6:

S(4,3)={{{a},{b},{c,d}},{{a},{c},{b,d}},{{a},{d},{b,c}},{{b},{c},{a,d}},{{b},{d},{a,c}},{{c},{d},{a,b}}}
מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת 4 איברים לארבע תתי-קבוצות לא ריקות הוא 1:

S(4,4)={{a},{b},{c},{d}}}
בדומה להגדרה הרקורסיבית של מקדמים בינומיים, ניתן להגדיר רקורסיבית גם את מספרי סטירלינג מסוג שני:

S(n,k) = S)n-1,k-1) + k*S(n-1,k)

זהויות עבור מספרי סטירלינג מסוג ראשון ומספרי סטירלינג מסוג שני:

S(n,0)=0
S(0,k)=0
S(0,0)=1
S(n,n)=1
S(n,k)=0, k<=n
 

מספרי סמית'
Smith Numbers
מספר סמית' הוא מספר שסכום ספרותיו שווה לסכום הספרות של גורמיו הראשוניים לא כולל 1 ולא כולל עצמו.
מספר סמית' לדוגמה: 85. סכום ספרותיו הוא 13 וסכום ספרותיו של האחרון הוא 4. .
סדרת מספרי סמית': 4,22,58,85,94,…
גורמיו הראשוניים של 85 הם 5 ו-17. סכום הספרות של גורמיו הראשוניים הוא:
5+1+7=13 וסכום ספרותיו של 13 הוא 4, כדרוש.
מספרי סמית' חצי-ראשוניים
Semiprime Smith Numbers
מספר סמית' חצי ראשוני הוא מספר סמית' שהינו גם מכפלה של שני מספרים ראשוניים.
סדרת מספרי סמית' חצי-ראשוניים: 4,22,58,85,94,…
מספר סמית' חצי ראשוני לדוגמה: 22.   סכום ספרותיו הוא 4. גורמיו הראשוניים הם 2 ו-11
וסכומם 13. סכום הספרות של 13 הוא 4, כדרוש ולכן זהו מספר סמית'.
בנוסף, 2*11=22 ולכן זהו מספר סמית' חצי-ראשוני.
מספרי סמית' פלינדרומיים
Palindromic Smith Numbers
ההסבר בדומה לסעיף הקודם של מספרי סמית' בתוספת תכונת הפלינדרומיות.
סדרת מספרי סמית' פלינדרומיים: 4,22,121,202,454,535,…

מספר סמית' פלינדרומי לדוגמה: 454, 7227.

מספרי ערפד
Vampire Numbers
מספר ערפד הוא מספר בעל מספר זוגי של ספרות אשר מייצג כפולה של שני מספרים (ניבי ערפד)
המורכבים מהספרות שלו עצמו, לאו דווקא בסדר המקורי שלהן.

מספר ערפד לדוגמה: 125460=204*615.
מספרי ערפד הם תת-קבוצה של מספרי פרידמן.

מספרי ערפד ראשוניים
Prime Vampire Numbers
מספר ערפד ראשוני הוא מספר ערפד בעל שני ניבים ראשוניים.
מספר ערפד ראשוני לדוגמה: 124483=261*443 . 261 ו-443 הם מספרים ראשוניים.
מספרי פיבונאצ'י
Fibonacci Numbers
מספרי פיבונאצ'י הם המספרים המרכיבים את סדרת פיבונאצ'י:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,56
תכונת הסדרה: כל מספר החל מהאיבר השלישי הוא סכום שני האיברים הקודמים לו.
שאלות פתוחות: האם יש אינסוף מספרי פיבונאצ'י ראשוניים.
מספרי פרידמן
Friedman Numbers
מספר פרידמן הוא מספר היתן להצגה באמצעות הפעלת ארבע פעולות החשבון היסודיות: חיבור, חיסור, כפל וחזקה
ופעולת ההעלאה בחזקה על כל אחת מספרותיו.
מספרי פרידמן לדוגמה: 153=13+53+33. 25=52.
מספרי ערפד הם תת-קבוצה של מספרי פרידמן.
מספרי פרידמן יפים
Nice Friedman Numbers
מספר פרידמן יפה הוא מספר פרידמן  שניתן להציגו ע"י הפעלת פעולות חשבון על ספרותיו כפי שהן מופיעות במקור.
מספר פרידמן יפה לדוגמה: 153=13+53+33.  736=7+36.   25=52 אינו מספר פרידמן יפה, עקב היפוך הספרות.
מספרי פרמה
Fermat Numbers
מספרי פרמה הם מספרים טבעיים מהצורה Fn=2m+1 כאשר .m=2n. מספרי פרמה יכולים להיות ראשוניים או פריקים.
פרמה שיער כי כל המספרים בעלי צורה זו הם ראשוניים, ואכן
חמשת מספרי פרמה הראשונים הם ראשוניים, אבל אוילר הוכיח שהמספר
השישי: 232+1 אינו ראשוני ומתחלק ב-641. גם המספרים במקומות השביעי עד העשירי הם פריקים.
מספרי פרמה ראשוניים
Fermat Numbers…..
מספרי פרמה ראשוניים הם….
שאלות פתוחות: האם יש אינסוף מספרי פרמה ראשוניים.
מספרי קטלן
Catalan Numbers
מספר קטלן  הוא מספר טבעי המוגדר ע"י מקדם בינומי,ומיושם בעיקר בפתרון בעיות ספירה  קומבינטוריות.
לכל n>=0 ,   מספר קטלן ה-מ-י הוא:

מספר קטלן המתקבל עבור  n=5 , למשל, הוא 42.

מספרי קאפרקר
Kaprekar Numbers
מספר קאפרקר הוא מספר טבעי אשר חיבור קבוצות ספרות של ריבועו שווה למספר עצמו.
מספר קאפרקר לדוגמה: 9801=98+1+90=992.
מספרי קרמייקל
Carmichael Numbers
נקראים גם מספרים פסאודו-ראשוניים מוחלטים (Absolute Pseudoprime)
או מספרים ראשוניים מוחלטים למחצה
אא****
מספר קרמייקל הוא מספר אי-זוגי פריק המתפרק לפחות ל-3 גורמים ראשונים שונים.
פרמה הכליל את מסקנתם של הסינים כאשר טען ש-xp-x  יתחלק תמיד ב-p, אם p הוא מספר ראשוני. הוא גם טען שהצליח להוכיח  טענה זו. לפי הנוסחה הכללית הזו, x יכול להיות כל מספר ולא רק המספר 2.
במכתב שכתב פרמה בשנת 1640 לחברו פרניקל דה בסי, גם הוא מתמטיקאי צרפתי חובב כפרמה, הוא הציג בפניו את המשפט, שנודע מאוחר יותר בכינוי המשפט הקטן של פרמה, להבחינו מהמשפט הגדול או האחרון שלו, שבו דנו   בעמ'    . המשפט אומר ש"אם x הוא מספר שאינו מתחלק למספר הראשוני p (את התנאי הזה ביקשנו להבליט בפסקה הקודמת), אזי הביטוי  xp-1-1חייב להתחלק ב-p ללא שארית". או בניסוח אחר: הביטוי xp-1 ישאיר 1 בהתחלקו ל-p. פרמה, כדרכו, לא סיפק הוכחה למשפטו, ונימוקו: "הייתי שולח לך את ההוכחה לולא חששתי מאריכותה". הראשון שהוכיח את המשפט היה המתמטיקאי והפילוסוף הגרמני לייבניץ, אלא שהוכחה זו נעלמה מעיני החוקרים, מפני שלייבניץ כתב אותה על מסמך לא מתוארך (אבל ידוע שהוא נכתב בוודאות לפני שנת 1683), והוא פשוט לא מצא לנכון לפרסם אותה. מסמך זה נתגלה רק בשנת 1806 – לאחר שאוילר כבר פרסם את ההוכחה למשפט והיא נקראת על שמו. ההוכחה הופיעה בסיכומי הדיונים שיצאו לאור בשנת 1736 מטעם אקדמיית סנט פיטרסברג. מאוחר יותר, בשנת 1760, פרסם אוילר גרסה כללית יותר של המשפט.

 

לו משפט זה היה נכון לגבי מספרים ראשוניים בלבד, אזי היה בידינו כלי נוח לזיהוי מספרים ראשוניים. למרבה הצער לא נותן המשפט בידינו כלי כזה. המשפט אמנם נכון תמיד לגבי מספרים ראשוניים, אבל, מאידך,  הוא לפעמים נכון גם לגבי מספרים פריקים. במילים אחרות ייתכן שיתקיים  nשיחלק את הביטוי 1-xn-1 גם אם n אינו מספר ראשוני. הראשון שגילה זאת היה, כזכור, פייר סרוס בשנת 1819. מספר המספרים הפריקים האלה שיקיימו את המשפט הוא אינסופי. כן אנו מוצאים שלכל בסיס x יכולים להופיע כמה מספרים פריקים שמקיימים את המשפט. הטבלה הבאה ממחישה זאת. אנו רושמים בטבלה את ששת המספרים הפסאודו-ראשוניים הראשונים לבסיסים 6-2 של x:

הבסיס x              המספרים הפסודו-ראשוניים הראשונים השייכים לו

2                          341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, …

3                          91, 121, 286, 671, 703, 949, …

4                          15, 85, 91, 341, 435, 451, …

5                          4, 124, 217, 561, 781, 1541, …

6                          35, 185, 217, 301, 481, 1105, …

טבלה מס' 1

 

חשוב שנסב את תשומת הלב לכמה עובדות שבטבלה:

א)       כל המספרים שבטבלה הם מספרים אי-זוגיים. הדוגמה הראשונה של מספר פסאודו-ראשוני זוגי נמצאה בשנת 1950: 1103*73*2=161038 לבסיס 2. מספרים מעטים כאלה נתגלו בהמשך, אבל יש כאלה המתנגדים לכלול מספרים אלה בין המספרים הפסאודו-ראשוניים. עניין של הגדרה!

ב)       מעניין שדווקא בבסיס הקטן ביותר (2) המספר הפריק הראשון הוא 341. זה מקרה נדיר, שהרי בבסיסים 1 עד 100 הוא מופיע ראשון בבסיסים 15, 60, 63  ו-78 בלבד (לא רואים זאת בטבלה). בטווח זה של הבסיסים אין מספר פריק המופיע ראשון שהוא גדול ממנו.

ב)       הטבלה מראה שמספר פריק n שמקיים את הנוסחה בבסיס מסוים לא יקיים אותה בהכרח בבסיס שונה. כך, אף אם הביטויים 1‏‏‏-390 ו-490-1 מתחלקים ל-91, הרי הביטוי 1‏-290  אינו מתחלק בו. הדבר נכון גם לגבי המספר 341 שמחלק את הביטוי 1‏-2340 וגם את הביטוי 4340-1 אבל לא את הביטוי 1‏-3340.

ג)        על טיבם של המספרים המקווקווים נעמוד בהמשך. נסתפק, לפי שעה, בהערה שמספרים אלה יופיעו בכל הבסיסים במקום כלשהו בטבלה. אנו רואים את המספר 561 שמופיע בטבלה בבסיסים 2 ו-5, והמספר 1105 מופיע בבסיסים 2 ו-6. אילולא קטענו את הטבלה מחוסר מקום, היינו רואים אותם מופיעים בכל בסיס. כך הדבר לגבי כל המספרים המקווקווים שרואים ושלא רואים בטבלה.

 

כזכור קראנו למספרים פריקים אלה בשם מספרים פסאודו-ראשוניים בהקשר לדיוננו ב"השערה הסינית" שהתייחסה לבסיס 2. כעת אנו רואים בטבלה שמספרים כאלה מופיעים בכל בסיס. הוכח בשנת 1903 שיש אינסוף מספרים כאלה בכל בסיס נתון, אבל הם נדירים, כאמור, בהרבה מן המספרים הראשוניים "האמיתיים".

מספרי קרמייקל

השאלה האם קיים מספר פריק n שמחלק את הביטוי 1-xn-1  לכל בסיס x, שהוא זר ל-n? אכן קיימים מספרים כאלה, שהקטן שבהם הוא 17*11*3=561. מספר זה מחלק את הביטוי 1-x560, כאשר במקום x אפשר להציב כל מספר חוץ מהמספרים: 17, 11, 3 שהם הגורמים שלו (כלומר לא זרים לו). מספרים אלה נקראים מספרים פסאודו-ראשוניים מוחלטים או מספרי קרמייקל, על-שם המתמטיקאי האמריקאי רוברט קרמייקל שהיה הראשון שהבחין בקיומם. במאמרו הראשון בנושא זה, שפורסם בשנת 1910, הצביע קרמייקל על ארבעה מספרים פסאודו-ראשוניים. אחד מהם הוא 561 הנודע ושלושת האחרים הם: 17*13*5=1105; 31*13*7=2821 ו-73*31*7=15,841. שנתיים לאחר מכן הוא הציג עוד 11 מספרים כאלה בעלי שלושה גורמים ראשוניים ועוד מספר בעל ארבעה גורמים ראשוניים: 457*73*37*13=16,046,641. הוא גם העלה את ההשערה שקיימים אינסוף מספרים כאלה. השערה זו נותרה בלתי מוכחת במשך למעלה   מ-80 שנה עד שאומתה בשנת 1994 על ידי קבוצה של מתמטיקאים.

סיכום המחקר על מספרי קרמייקל מראה שאלה הם מספרים אי-זוגיים פריקים המתפרקים לפחות לשלושה גורמים ראשוניים שונים (בניסוח אחר, הם חסרי-ריבועים square-free). ידועים לנו מספרי קרמייקל שיש להם 34 גורמים ראשוניים שונים, נכון לשנת 2004.

ועכשו נשוב לטבלה מס' 1 ונציין שהמספרים המקווקווים הם מספרי קרמייקל,  ולכן אם היינו ממשיכים את הטבלה ומציינים את כל המספרים הפסאודו- ראשוניים בכל הבסיסים היינו רואים מספרים אלה (ועוד אין סוף מספרי קרמייקל) מופיעים בכל הבסיסים.

אנו מציגים להלן את שבעת מספרי קרמייקל הראשונים שבאים אחרי שלושת הראשונים המצוינים בטבלה, ואלה הם: 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341.

מעניין לציין שאם היינו מחסרים 1 ממספר קרמייקל כלשהו, אזי הוא היה מתחלק לכל אחד מהגורמים שלו לאחר שחיסרנו 1 מכל אחד מהם. נדגים: הגורמים של מספר קרמייקל הראשון הם: 17*11*3=561, אזי 560 מתחלק ל-16, ל-10 ול-2. או 17*13*5=1105 (שהוא מספר קרמייקל השני, ראה טבלה 1) ולכן 1104 מתחלק ל-16, ל-12 ול-4. זו הייתה השערתו של המתמטיקאי הגרמני אלווין קורסֶלְט שפרסם אותה בשנת 1899, אבל הוא לא יכול היה להוכיח אותה, עד שבא קרמייקל והדגים אותה על המספר 561. תכונה זו הפכה לאחד הקריטריונים שבאמצעותם מזהים מספרי קרמייקל.

 

האם אפשר לבנות מספרי קרמייקל לפי נוסחה? אכן אפשר. בשנת 1933 הראה המתמטיקאי האמריקאי ג' צ'רניק שאפשר לבנות קבוצה מצומצמת של מספרי קרמייקל שיש לה תכונות מוגדרות. אם נציב במקום k בביטוי הבא:

(6k+1)(12k+1(18k+1) מספר אשר יביא כל אחד משלושת הגורמים להיות מספר ראשוני, אזי מכפלתם תהיה מספר קרמייקל. תנאי זה מציב הגבלות על ערכו של k. אם, למשל, k=1 אזי כל הגורמים האלה יהיו ראשוניים ומספר קרמייקל יהיה 19*13*7 = 1729 (זהו המספר השלישי מבין מספרי קרמייקל, והוא מופיע בטבלה). לא כן אם נציבk=2,3,4,5 . אבל אם נציב את המספר 6 במקום k אזי כל שלושת הגורמים הנ"ל יהיו מספרים ראשוניים.

 

מהדיון במשפט הקטן של פרמה התפתח הדיון למספרים פסאודו-ראשוניים ולמספרי קרמייקל. הגיע הזמן לסגור את המעגל ולשוב למשפט בהערה נועלת: יש מקרים שבהם מתחלק הביטוי 1-xp-1  ב-p כמה פעמים. לדוגמה, 1‏-310 מתחלק     ב-112, וכן 1‏-910. חוקרים רבים סברו במשך זמן רב שפתרון מסוג זה אינו בנמצא לבסיסים 2 ו-10, ורק לאחרונה נתגלה ש- 1‏-21092 מתחלק ב-10932 ו- 1‏-23510  מתחלק ב-35112.  יתרה מזו, המספר 1‏-68112 מתחלק ב-1133. למעשה תמיד אפשר למצוא בסיס כלשהו שבו קשר זה מתקיים לגבי הריבוע של כל מספר ראשוני שנבחר.

מספרים אאוקלידיים
Euclidean Numbers
מספר אאקולידי הוא מספר מהצורה  +1 P*, כאשר P* הוא מכפלת כל המספרים הראשוניים קטנים או שווים למספר
הראשוני P. סדרת המספרים האאוקלידיים הראשונים: 3,7,31,211,2311,30031
חישוב לדוגמה של המספר האאוקלידי השישי, עבור המספר הראשוני השישי,  13:
2*3*5*7*11*13+1= 30031
שאלות פתוחות: האם ישנם אינסוף מספרים אאוקלידיים (ראשוניים או פריקים).
מספרים אוטומורפיים
Automorphic Numbers
מספר אוטומורפי הוא מספר שכל חזקותיו מסתיימות בספרותיו של המספר עצמו.
מספר אוטומורפי לדוגמה: 5, משום שכל חזקותיו מסתיימות ב-5: 25, 125, 625…
מספר אוטומורפי נוסף, למשל, הוא 76.
מספרים אי-זוגיים
Odd Numbers
נקראים גם מספרים זכריים.
מספר אי-זוגי הוא מספר המשאיר שארית 1 כאשר הוא מתחלק ב-2.
מספרים אי-חיוביים
NonPositive Numbers
קבוצת המספרים השליליים והמספר אפס.
מספרים אי-רציונליים
Irrational Numbers
מספרים שלא ניתן להציגם כמנה של שני מספרים שלמים.
מספרים אי-שליליים
Non-Negative Numbers
קבוצת המספרים החיוביים והמספר אפס.
מספרים אלגבריים
Algebraic Numbers
מספר אלגברי הוא מספר מרוכב שמהווה פתרון (שורש) של פולינום שמקדמיו רציונליים.
קבוצת המספרים הרציונליים הם תת-קבוצה של המספרים האלגבריים.
מספר אלגבריים לדוגמה: i , (שורש 2)
מספרים הרמוניים
Harmonic Numbers

נקראים גם מספרי אור הרמוניים (Ore harmonic Numbers)
או מספרי אור (Ore Numbers)
מספר הרמוני הוא מספר שהממוצע ההרמוני של כל מחלקיו הוא מספר שלם.
מספרים הרמוניים לדוגמה: 140, 28.
מספרים זוגיים
Even Numbers
נקראים גם מספרים נקביים.
מספר זוגי הוא מספר שאינו משאיר שארית באשר הוא מתחלק ב-2.
מספרים זרים
Coprime Numbers
Relatively Prime Numbers
מספרים זרים הם סדרה של לפחות שני מספרים שאין להם מחלק משותף, קרי GCD =1 .
כל זוג מספרים ראשוניים זרים זה לזה, אבל אם רק אחד מן המספרים ראשוני אין זה אומר בהכרח
שזוג המספרים הוא מספרים זרים. דוגמה: הזוג (17,34) אינו זוג מספרים זרים.
זוגות של מספרים זרים לדוגמא: (14,15) ,  (100,121), (17,18).
30 הוא המספר הגדול ביותר שכל המספרים הקטנים ממנו וזרים לו הם מספרים ראשוניים.
בשברים, אם המונה והמכנה הם שני מספרים זרים זה לזה, השבר אינו ניתן לצמצום.
מספרים חברותיים
Sociable Numbers
מספרים חברותיים הם n   מספרים טבעיים כלשהם המסודרים בשרשרת (Aliquot Sequance) כך שסכום
המחלקים של מספר כלשהו לא כולל המספר עצמו אבל כולל 1, שווה לסכום המחלקים של
המספר הקודם לו בשורה.
כאשר השרשרת באורך 2, שני המספרים בה הם מספרים ידידים, כך שמספרים ידידים הם תת-קבוצה
של מספרים חברותיים.

השרשרת של מחלקי המספרים Aliquot Sequance

נבחר מספר כלשהו, נחשב את סכום מחלקיו (לא כולל המספר עצמו) ונקבל מספר שני. במספר השני ננהג באותה דרך שנהגנו בה במספר הראשון ונקבל מספר שלישי, וכן הלאה. פעולות אלה יוצרות שרשרת של מספרים שמסתיימת באחת מהאפשרויות הבאות:

1)       השרשרת תסתיים אחרי צעד אחד בלבד, או אם תרצו היא לא תסתיים לעולם, והמספר יחזור על עצמו. ברור שהמספר שבחרנו בו להתחיל את השרשרת הוא מספר משוכלל:

n                      המחלקים                 סכום המחלקים

6                      1, 2, 3                                     6

2)       השרשרת תסתיים כאשר נגיע אחרי שני צעדים או יותר למספר משוכלל (המספר האחרון למעשה יחזור על עצמו):

n                      המחלקים                                       סכום המחלקים

25                   1, 5                                                         6

6                      1,2,3                                                       6
3)       השרשרת תסתיים בשני צעדים כאשר רואים שבצעד השני סכום המחלקים של המספר הוא המספר שבו התחלנו את השרשרת:

n                      המחלקים                                        סכום המחלקים

220                  1, 2, 4, 5, 10, 11, 20,                        284

22, 14, 55, 110
284                  1, 2, 4, 71, 142                                   220
לזוג מספרים כזה קוראים מספרים רֵעים. אנו נקדיש להם חלק נפרד בפרקנו.
4)       השרשרת תסתיים במספר 1, כאשר המספר הוא מספר ראשוני, או כאשר בצעד לפני האחרון סכום המחלקים הוא מספר ראשוני:

 

n                      המחלקים                                       סכום המחלקים

12                    1, 2, 3, 4, 6                                           16

16                    1, 2, 4, 8                                               15

15                    1, 3, 5                                                     9

9                       1, 3                                                        4

4                       1, 2                                                        3

3                       1                                                              1
5)       השרשרת תסתיים כאשר נגיע אחרי כמה צעדים (יותר משניים) למספר הראשון שהתחלנו בו:

n                      מספר המחלקים                              סכום המחלקים

12,496           19                                                          14,288

14,288           19                                                           15,472

15,472           9                                                              14,536

14,536           15                                                           14,264

14,264           7                                                              12,496
חזרנו למספר הראשון! זוהי שרשרת מפורסמת בת 5 חוליות, והיא השרשרת הקטנה ביותר מסוגה במובן זה שאין שרשרת דומה שהחוליות שלה מורכבות ממספרים קטנים יותר. שרשרת אחרת היא שרשרת המתחילה במספר 14,316 ויש בה 28 חוליות. שתי השרשרות נתגלו בשנת 1918. למספרים המרכיבים שרשרות מסוג זה קוראים מספרים חברותיים Sociable Numbers.

6)       השרשרת לא תסתיים לעולם והמספרים לא יחזרו על עצמם. בגבול האלף ישנם חמישה מספרים שמתחילים שרשרות שעדיין לא הצליחו לסיימן. המספרים הם: 276, 552, 564, 660 ו-966. את חמשת המספרים האלה מכנים חמישיית להמר Lehmer Five לזכרם של זוג המתמטיקאים האמריקאים דריק ואשתו אֶמה להמר.

שאלות פתוחות:
האם קיימת שרשרת מספרים חברותיים בה לפחות מספר אחד זוגי ולפחות מספר אחד אי זוגי.
 

מספרים חזקים
Strong Numbers
מספר חזק הוא מספר אשר כל אחד ממחלקיו הראשוניים מופיע לפחות בחזקה שנייה.
ניסוח שקול: מספר חזק הוא מספר המתחלק הן למספר ראשוני והן לריבועו של אותו מספר ראשוני.
מספרים חזקים לדוגמה:25, 32, 32*52=225, 73=343
5 הוא מחלק ראשוני של המספר 25 ומופיע בחזקה שנייה בייצוג של 25, ולכן הוא 25 מספר חזק.

 

מספרים חיוביים
Positive Numbers
מספר חיובי הוא מספר הגדול מאפס.
מספרים חסרים
Deficient Numbers
מספר חסר הוא מספר שסכום מחלקיו, לא כולל עצמו אבל כולל 1, קטן ממנו.
ניסוח שקול: מספר חסר הוא מספר הגדול מסכום המחלקים שלו, לא כולל עצמו אבל כולל 1.
ניסוח שקול: מספר חסר הוא מספר שסכום מחלקיו, כולל עצמו וכולל 1,  קטן מפעמיים המספר עצמו.
כל המספרים הראשוניים וכל חזקותיהם הם מספרים חסרים, ולכן קיימים אינסוף מספרים חסרים, בין
אם זוגיים או אי זוגיים.
כמו כן, מחלקיהם של מספרים משוכללים או של מספרים חסרים בעצמם, אף הם מספרים חסרים.
בניגוד לשאלה הפתוחה לגבי מספרים יתרים, הרי שקיימים מספרים חסרים שגדולים
מסכום מחלקיהם בדיוק ב-1, כגון 8, שסכום מחלקיו הוא 7.
מספרים חסרים לדוגמה:  10,11,13,14,15,16.
14 הוא מספר חסר משום שסכום מחלקיו הוא 9=1+2+7 ואכן 9<14 או 9*2>14.

כאמור, בתחום המאה הראשונה יש 22 מספרים יתרים והם: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96 ו-100.
ומה לגבי רשימת המספרים החסרים?  בתחום המאה הראשונה, כל שאר המספרים שלא נמנו עם הרשימה הקודמת, (חוץ מהמספרים 6 ו-28),  הם מספרים חסרים.

מספרים טבעיים
Natural Numbers
מספרים שלמים וחיוביים. בתחומים מסוימים במתמטיקה, גם 0 נחשב מספר טבעי.
מספרים טמאים מספר טמא הוא מספר לא-נגיע. כלומר, לעולם אינו שווה לסכום מחלקיו פחות המספר עצמו.
5 הוא המספר האי-זוגי היחידי שהוא מספר טמא.
סדרת המספרים הטמאים: 2,5,52,88,90.
מספר טמא לדוגמה: 52.
מספרים טרימורפיים
Trimorphic Numbers
מספר טרימורפי הוא מספר שהמעוקב שלו מסתיים באותן ספרות.
מספר טרימורפי לדומה: 49, משום ש-49 בחזקה שלישית שווה ל-117649.
מספרים טרנסצנדנטיים
Transcendental Numbers
מספר טרנסצנדנטי הוא מספר מרוכב שאינו מספר אלגברי.
המספרים הטרנסצנדנטיים הם תת-קבוצה של המספרים האי-רציונליים,
וקנטור הוכיח כי רובם של המספרים האי-רציונליים הם מספרים טרנסצנדנטיים.
במילים אחרות, אלו מספרים אי-רציונלים שאינם מספרים אלגבריים ולכן מספרים מסוג
זה אינם יכולים להיות פתרון של משוואה אלגברית f(x)=0 שמקדמיה מספרים שלמים.

 

מספרים ידידים
Amicable Numbers
נקראים גם מספרים מספרים ידידותיים או מספרים ידידים או מספרים נאהבים.
מספרים ידידים הם זוג מספרים שכל אחד מהם שווה לסכום מחלקיו של המספר האחר, לא כולל
המספר עצמו אבל כולל 1.
קרי, אם סכום מחלקיו של מספר a (חוץ מהמספר עצמו) שווה למספר b, וסכום מחלקיו של מספר b שווה למספר a – אזי שני המספרים האלה ייקראו מספרים ידידים. הזוג הראשון והקטן ביותר הם המספרים 220 ו-284. מחלקיו של המספר הראשון הם: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 ומחלקיו של המספר השני הם: 1+2+4+71+142=220.

הקשר בין שני המספרים האלה היה ידוע עוד מימי פיתגורס (500 שנה לפני הספירה), ולגבי הקדמונים הם סימלו הרמוניה מלאה, ידידות ואהבה. נאמר מפי פיתגורס ש"ידיד הוא האני האחר של אדם בדיוק כמו המספרים 220 ו-284".  ההיסטוריון והסוציולוג הערבי איבן ח'לדון (1332‏-1406) כותב בספרו המפורסם אל-מוקדמה: "..נזכיר את העיסוק במלאכת עשיית הקמעות שהייתה אחראית למודעוּת שלנו למעלותיהם של שני המספרים הידידים 220 ו-284. אמני הקמעות מדגישים שלשני מספרים אלה יש תפקיד מיוחד בכינון יחסי שיתוף וידידות בין שני אנשים. הם משמשים להכנת הורוסקופים עבורם ואת המספר החזק מבין שניהם חורתים על קמע ומעניקים אותו לאדם שמעוניינים לזכות בקרבתו או באהבתו. הקשר שעשוי להיווצר בין שני האנשים הוא אמיץ ביותר ובל יינתק. האמנים הגדולים שעסקו במלאכה זו מאשרים מניסיונם את ההשפעה שלהם."

החידונאי בן-ימינו מרטין גרדנד (2010-1914) כותב באחד מספריו (1984): "אחוות הפיתגורים ראתה בזוג המספרים 220 ו-284 סמל לידידות. כמה ממפרשי המקרא הבחינו שיעקב נתן לעשו 220 עזים ותיישים, וכן 220 רחלים ואילים (בראשית לב 15), ובכך הוא הביע  את אהבתו לעשו."

במשך דורות רבים זה היה הזוג היחיד מסוגו שידעו עליו עד שגילה בשנת 1636 המתמטיקאי הצרפתי החובב פרמה זוג נוסף המורכב מהמספרים 17,296 ו-18,416. דקרט גילה בשנת 1638 את הזוג השלישי: 9,437,056 ו-9,363,584 שהיה כבר ידוע למתמטיקאים הערבים לפניו. המתמטיקאי השוויצרי אוילר חקר את הנושא בצורה שיטתית יותר ופיתח נוסחה לגילוי מספרים כאלה. בשנת 1747 הוא פרסם רשימה של 30 זוגות וכמה שנים אחר כך הוא הרחיב את הרשימה ליותר משישים. בין הזוגות שהוא גילה היו הזוג 6,232 ו-6,368 והזוג 10,744 ו-10,856.   כ-120 שנה אחרי אוילר, בשנת 1866, גילה נער איטלקי בן 16 בשם ניקולו פגניני זוג מספרים שנחשב היום לשני בגודלו, אבל משום מה פסחו עליו מתמטיקאים שונים לפניו. זהו הזוג 1,184 ו-1,210. המספרים נתגלו כנראה בדרך הניסוי והטעייה – מה שמעיד אולי על הסיכוי של חובבנים למיניהם להיכתב בדפי ההיסטוריה אם יעשו מאמץ כלשהו ואם ישחק להם המזל!

רק לאחרונה מתברר שמתמטיקאים ערבים עסקו בנושא עוד מהמאה התשיעית. הזוג שגילה פרמה, למשל, נתגלה כבר במאה ה-14 על-ידי מלומד ערבי בשם אבן אל-בנא, והזוג שגילה דקרט נתגלה כבר כמה עשרות שנים לפניו על-ידי מלומד ערבי אחר בשם מוחמד בכר יזדי (המאה ה-16). אבל התגלית המשמעותית ביותר היא העובדה שמדען ערבי בשם ת'אבת אבן קורה (826-‏901) המציא נוסחה להנפקת כמה מספרים ידידים – דווקא אותם מספרים שיוחסו לפרמה ולדקרט בגילוים במאה ה-17. האם ייתכן ששני מדענים דגולים אלה ידעו על קיומה של נוסחה זו? או שמה הם גילו אותה בדרך בלתי תלויה בנוסחתו של המלומד הערבי. אין לכך תשובה, אבל ראוי שנציג להלן את הנוסחה:

 

נוסחה לגילוי מספרים ידידים:

אם n>1 והצבת ערכים שלו בשלושת הביטויים הבאים:

9*22n-1-1=r       3*2n-1=q           p=3*2n-1-1

תתן מספרים ראשוניים: q, p ו-r אזי pq 2n  ו- r 2n הם מספרים ידידים. זוהי הנוסחה של של המדען הערבי ת'אבת בן קורה, שהוזכר בפסקה הקודמת. אוילר, כאמור, גילה נוסחה כללית יותר לנוסחה זו, שלא מצאנו לנכון לרשום אותה כאן.

נדגים: כאשר 2=n, אזי 5=p; 11=q ו-71=r, שהם כולם מספרים ראשוניים. נציב מספרים אלה בנוסחה ונקבל 284=71*4  ו-220=11*5*4, שהם הזוג הראשון המוכר של מספרים ידידים.

כאשר 3=n אזי 287=r, שהוא מספר לא ראשוני, ולכן אינו מתאים לנוסחה.

כאשר 4=n אזי 23=p; 47=q ו-1151=r. שלושת המספרים האלה הם מספרים ראשוניים. אם נציב מספרים אלה בנוסחה נקבל את המספר הראשון שהוא 18,416=1151*16 והמספר השני יהיה 17,296=47*23*16. זהו הזוג שנתגלה, כזכור, על-ידי פרמה.

כאשר 5=n אזי 95=q, שהוא מספר לא ראשוני, ואם נציב 6 במקום n נקבל אותה תוצאה: 95=p.

המספר הבא יהיה 7=n. במקרה זה 191=p; 383=q ו-73727=r. המספרים האלה הם מספרים ראשוניים, לכן המספר הראשון יהיה 9,437,056=73727*128 והשני יהיה 9,363,584=383*191*128. זהו הזוג שנתגלה, כזכור, על-ידי דקרט.

נשים לב שבכל הדוגמאות הנ"ל קיים גורם משותף לשני המספרים, לאמור המספרים אינם זרים זה לזה. סוף סוף הרי הם מספרים ידידים!

זהו! כאן מסתיימות אפשרויות השימוש בנוסחה זו, כיוון שהיא כבר לא טובה לכל ערך של n שהוא קטן מ-20,000! מכאן אנו מבינים שקיימות נוסחאות אחרות המנפיקות מספרים ידידים אחרים, אבל איש לא מצא עדיין את הנוסחה האחת שתוכל להנפיק את כל המספרים הידידים האפשריים – כמו, למשל, הנוסחה המנפיקה את כל המספרים המשוכללים (ראה הפרק המיוחד על מספרים אלה).

כאן המקום  לציין שמספר המספרים הידידים שנתגלו נכון ליוני 2006 עולה על 11 מיליון, והמספר גדל מחודש לחודש. כל המספרים מתועדים ואפשר להוריד אותם מהאינטרנט. אנו נסתפק בהצגת עשרת הזוגות של המספרים הידידים לפי גודלם, ולא לפי סדר גילויים: (220, 284 – מקדמת דנא); (1184, 1210 – נתגלה על-ידי הנער פגניני); (2620, 2924); (5020, 5564 – אוילר); (6232, 6368 – אוילר); (10744, 10856 – אוילר); (12285, 14595 – בראון בשנת 1939); (17296, 18416 – פרמה); (63020, 76084); (66928, 66992 – אוילר).

 

הרוב המכריע של המספרים הידידים הם מספרים זוגיים. ישנם כמה זוגות ששני המספרים שלהם הם מספרים אי-זוגיים; הקטן שבהם הוא הזוג השביעי ברשימה לעיל. לא ידוע אם קיימים זוגות שבהם אחד המספרים הוא זוגי והשני הוא אי-זוגי. לא ידוע אם קיים זוג שבו שני המספרים זרים זה לזה. זה אומר שבין שני המספרים קיים לפחות גורם משותף אחד.

הגדול מבין זוג המספרים הידידים הוא מספר חסר.

בשנת 1986 טען המתמטיקאי והחידונאי האמריקאי המפורסם מרטין גרדנר, על סמך הנתונים שהיו אז בידיו, שסכום כל זוגות המספרים הידידים הזוגיים חייב להתחלק ב-9. הוא אמנם טעה, אבל המקרים המפריכים טענה זו הם נדירים ביותר.

 

נסיים פרק זה בציון כמה שאלות לא פתורות:

1.       האם יש אינסוף של מספרים ידידים?

2.       האם ייתכן שיהיו זוגות של מספרים שאחד מהם הוא מספר זוגי והשני אי-זוגי?

3.       האם ייתכן שיהיו זוגות של מספרים שיהיו זרים זה לזה?

4.       האם יש זוג כזה, שבו הגורם הקטן ביותר במספר אחד יהיה שונה מהגורם הקטן ביותר שבשני? מובן שהשאלה חלה רק על על הזוגות האי-זוגיים. בדוגמה שהבאנו לעיל, כל אחד מזוג המספרים מתחלק ב-3.

5.       האם ייתכן שאחד מהזוגות יהיה חזקה כלשהי של מספר ראשוני?

 

 

מספרים דמוי-ידידותיים
Quasi-Amicable Numbers
נקראים גם מספרים ידידים למחצה או מספרים מאורסים.
מספרים דמוי-ידידותיים הם זוג מספרים שכל אחד מהם שווה לסכום מחלקיו של המספר האחר,
לא כולל המספר עצמו וגם לא כולל את המחלק 1 (בניגוד למקרה של מספרים ידידים).
זוג מספרים דמוי-ידידותיים לדוגמה: (48,75).
סכום המחלקים של 48 תחת התנאים שהוזכרו בשורה הקודמת הוא 75=24+16+12+8+6+4+3+2
וסכום המחלקים של 75 הוא 48=25+15+5+3.
מספרים יתרים
Abundant Numbers
נקראים גם מספרים שופעים או מספרים עודפים.
מספר יתר הוא מספר שסכום מחלקיו, לא כולל עצמו אבל כולל 1, גדול  ממנו.
ניסוח שקול: מספר יתר הוא מספר הקטן מסכום המחלקים שלו, לא כולל עצמו אבל כולל 1.
ניסוח שקול: מספר יתר הוא מספר שסכום מחלקיו, כולל עצמו וכולל 1,  גדול מפעמיים המספר עצמו.
קיימים אינסוף מספרים יתרים.
כל כפולותיו של מספר יתר הם מספרים יתרים.
סדרת המספרים היתרים: 12,18,20,24,30…
מספרים יתרים לדוגמה: 12. מחלקיו של המספר 12 לא כולל עצמו הם: 1,2,3,4,6 וסכומם 16.
מחלקיו של המספר 12  כולל עצמו הם: , 121,2,3,4,6, וסכומם 28.
לפי שני הניסוחים בתחילת ההסבר: 16>12 וגם 12*2<28
945 הוא המספר היתר האי-זוגי הקטן ביותר. סכום מחלקיו הוא 975:

: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 15 + 21 + 27 + 35 + 45 + 63 + 105 + 135 + 189 + 315   = 975

בתחום המאה הראשונה יש 22 מספרים יתרים והם: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96 ו-100. הקורא אולי הבחין בעובדה שכל המספרים האלה הם מספרים זוגיים, אבל אין להסיק מכך שכל המספרים היתרים הם מספרים זוגיים. גם אין להסיק מכך שכל המספרים הזוגיים הם מספרים יתרים. על כך יעיד חסרונם של כמה מספרים זוגיים בתחום המאה מהרשימה הנ"ל. עם זאת ניתן לומר שמספרם של המספרים היתרים האי-זוגיים קטן יותר מהזוגיים. בתחום המאה הראשונה אין מספר אי-זוגי שהוא יתר. המספר האי-זוגי היתר הקטן ביותר הוא 945.
המתמטיקאי הצרפתי מרק דלגליז הראה בשנת 1998 שהמספרים היתרים מהווים רבע מהמספרים הטבעיים בקירוב. נציין שכל הכפולות של מספר יתר או של מספר משוכלל  הם מספרים יתרים.

מספר יתר שאינו מספר דמוי משוכלל הוא מספר מוזר.
שאלות פתוחות: האם קיים מספר יתר שסכום מחלקיו, לא כולל עצמו וכולל 1, גדול ממנו בדיוק ב-1.

 

מספרים יתרים במיוחד נקראים גם מספרים שופעים במיוחד.
מספר יתר במיוחד הוא מספר טבעי שסכום מחלקיו חלקי המספר עצמו הוא
מקסימלי עד לאותו מספר.
מספר המספרים היתרים שופעים במיוחד הוא אינסופי.
סדרת המספרים היתרים במיוחד מתחילה כך: …1,2,4,6,12,24,36,48
טבלת מספר המחלקים להדגמת מספרים יתרים במיוחד:

מספר סכום המחלקים עד
לאותו מספר
 
1 1  
2 3  
3          4  
4 7  
5 6  
6 12  
7 8  
8 15  
9 13  
10 18  
11 12  
12 28  
13 14  
14 24  
22 36  
23 24  
24 60  
25 31  
35 48  
36 91  
37 38  
38 60  
39 56  
40 90  
     

 

מספרים מאושרים
Happy Numbers
נקראים גם מספרים שמחים.
מספר מאושר הוא מספר אשר  אם מחברים את סכום ריבועי ספרותיו בתהליך חוזר, עד לקבלת ספרה בודדת, מקבלים את המספר 1.
מספרים מאושרים לדוגמא: 31, 32, 82, 100.
השלשה הראשונה של מספרים מאושרים עוקבים: 1880,1881,1882.
דוגמה: 32+22=13–>12+32=10–>12+02=1
סדרת המספרים המאושרים: …11,7,10,13,19,23
זוג מספרי הארשאד מאושרים לדוגמה: (10854650,10572550)

שאלות פתוחות:
האם 27 הוא המספר המקסימלי של איטרציות עד לסיום התהליך עבור כל מספר?

מספרים מדומים
Imaginary Number
מספר מדומה הוא מספר מהצורה yi, כאשר i2=-1.
מספרים מוזרים
Weird Numbers
נקראים גם מספרים משונים.
מספר מוזר הוא מספר יתר ששום צירוף של מחלקיו (לא כולל עצמו, כמובן) אינו מסתכם במספר עצמו.
מספר מוזר הוא מספר טבעי שהוא מספר יתר אך לא מספר דמוי-משוכלל.
קיימים אינסוף מספרים מוזרים אי-זוגיים.

מספר מוזר לדוגמה: 70. מחלקיו של 70 הם: 1,2,5,7,10,14,35 ואף תת קבוצה שלהם אינה מסתכמת
במספר 70.
סדרת המספרים המוזרים: …70,836,4030,5830
מספר יתר שאינו מספר דמוי משוכלל הוא מספר מוזר.
שאלות פתוחות:
האם קיים מספר מוזר אי-זוגי.

 

מספרים מרוכבים
Complex Numbers
נקראים גם מספרים קומפלקסיים.
מספר מרוכב הוא מספר המורכב משני מחוברים: מספר ממשי ומספר מדומה.
המספר המרוכב מיוצג ע"י התבנית a+bi כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים.
i2=-1 ולכן i הוא השורש של 1-.
מספרים משוכללים
Perfect Numbers
נקראים גם מספרים מושלמים.
מספר משוכלל הוא מספר שסכום מחלקיו, לא כולל עצמו אבל כולל 1, שווה למספר עצמו.
ניסוח שקול: מספר משוכלל הוא מספר שסכום מחלקיו, כולל עצמו וכולל 1, שווה לפעמיים המספר עצמו.

ניקומכוס קבע כמה קביעות לגבי המספרים המשוכללים מבלי שניסה להוכיחן:
למספר המשוכלל ה-n יש n ספרות.
כל המספרים המשוכללים הם מספרים זוגיים.
כל המספרים המשוכללים מסתיימים בספרות 6 ו-8 לסירוגין.
כפי שקבע אאוקלידס, כל המספרים המשוכללים הם בעלי צורה    (1-k2)k-12 כאשר 1-k2 הוא מספר ראשוני (1k>).
ישנם אינסוף מספרים משוכללים.

קביעות 1 ו-3 אינן נכונות בעוד שאר שלוש הקביעות הינן בגדר שאלות פתוחות.
אוילר גילה בשנת 1750 את המספר המשוכלל השמיני: 2147483647.
כל מספר משוכלל הוא מספר רב-משוכלל מסדר 2.
****אאאא מספרים משוכללים הם סכומי כל הטבעיים עד (2n-1).
אוילר הוכיח כי כל המספרים המשוכללים הם מהצורה  2n-1(2n-1) כאשר (2n-1) מספר ראשוני. דוגמאות:
6=21-1(22-1)
28=23-1(23-1)
496=25-1(25-1)
8128=27-1(27-1)
מסקנה: מספר מהצורה  2n-1(2n-1) הוא מספר משוכלל אם n וגם 2n-1 הם מספרים ראשוניים, ולמעשה
מספיק לדרוש שרק 2n-1 יהיה ראשוני ומובטח לנו ע"י הכפלה בגורם 2n-1 שנקבל מספר משוכלל.
מחלקיו של המספר 28 לא כולל עצמו הם: 1,2,4,7,14. סכום המחלקים הוא 28.
סכום המספרים ההפכיים של מחלקי המספרים המשוכללים, כולל המספר עצמו וללא 1, שווה ל-1.
דוגמה לקביעה זו עבור המספר המשוכלל 496:
1=1/496+1/248+1/124+1/62+1/31+1/16+1/8+1/4+1/2

המספר המשוכלל ה-n-י הוא סכום המספרים הטבעיים העוקבים החל מ-1 ועד  2n+1-1 .
למשל, עבור n=2, המספר המשוכלל השני הוא 28 והלה מתקבל כסכום של 7 המחוברים
הטבעיים הראשונים, משום ש:  7= 2n+1-1.  28=1+2+3+4+5+6+7.

אם מחברים את ספרותיו של מספר משוכלל בתהליך חוזר עד לקבלת מספר חד-ספרתי, התוצאה
הסופית תהיה תמיד 1. לדוגמה: סכום ספרותיו של המספר המשוכלל  496
הוא 19, סכום ספרותיו של 19 הוא 10 וסכום ספרותיו של 10 הוא 1.
מספר דמוי משוכלל השווה לסכום של כל מחלקיו נקרא מספר משוכלל הוא למעשה מספר דמוי-משוכלל השווה אך ורק לסכום של כל מחלקיו (ולא חלקם).. לפיכך  קבוצת המספרים המשוכללים הם תת-קבוצה של המספרים הדמוי-משוכללים.
שאלות פתוחות: האם קיימים אינסוף מספרים משוכללים זוגיים.
מספרים משוכללים לדוגמה:  6,28,496.

 

 

 

 

 

מספרים דמוי-משוכללים
Semiperfect/Pseudoperfect numbers:
§         נקראים גם מספרים משוכללים למחצה.
מספר דמוי-משוכלל הוא מספר השווה לסכום של חלק ממחלקיו או לסכום של כל מחלקיו,
לא כולל המספר עצמו.

אלה הם המספרים שסכום כל מחלקיהם או רק חלקם שווים למספר עצמו. יוצא מהגדרה זו שהם או מספרים יתרים או מספרים משוכללים. יש המתנגדים להגדרה זו ולא כוללים את המספרים המשוכללים בתוכם.  מספר דמוי משוכלל השווה לסכום של כל מחלקיו נקרא מספר משוכלל. לפיכך קבוצת המספרים המשוכללים הם תת-קבוצה של קבוצת המספרים הדמוי-משוכללים.
חמשת המספרים הדמוי-משוכללים הראשונים הם: 6, 12, 18, 20, 24,…

סכום מחלקיו של המספר 6=1+2+3 (מספר משוכלל).

סכום מחלקיו של המספר 12 הוא: 1+2+3+4+6=16 (מספר יתר), אבל סכום חלק ממחלקיו הוא 12 (1+2+3+6). כן הדבר לגבי המספר 18 שמחלקיו מסתכמים ב-21=1+2+3+6+9, אבל סכום חלק
ממחלקיו הוא 18 (1+2+6+9).

המספר הדמוי משוכלל הקטן ביותר הוא המספר 945 שהזכרנו לעיל. אחריו בא המספר 1575. גם כפולותיהם של מספרים אלה הם משוכללים-למחצה.
מספרים יתרים שאינם מספרים דמוי משוכללים נקראים בשם "המוזר" מספרים מוזרים .
פירושו של דבר שמבין מחלקיהם לא תימצא תת-קבוצה של גורמים שסכומה יהיה המספר עצמו. המספר
המשונה הקטן ביותר הוא 70. סכום מחלקיו של מספר זה הוא 1+2+5+7+10+14+35=74, אבל בניגוד למספר 18, למשל, שום צירוף של חלק ממחלקיו לא מסתכם ב-70.
המספרים המשונים הם מספרים נדירים. בתוך הרבבה הראשונה ישנם רק 7 מספרים כאלה והם: 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912,  ו-9272.
לא ידוע לנו אם קיים מספר משונה אי-זוגי.

 

מספרים כמעט משוכללים
Almost Perfect Numbers
מספר כמעט-משוכלל הוא מספר טבעי שסכום מחלקיו, לא כולל עצמו אבל כולל 1,
קטן ממנו ב-1.
ניסוח שקול: מספר כמעט-משוכלל הוא מספר שגדול ב-1 מסכום מחלקיו, לא כולל עצמו.
ניסוח נוסף: מספר כמעט משוכלל הוא מספר שסכום כל מחלקיו שווה ל: 2n-1.
מספר כמעט משוכלל הוא מספר חסר.
כל המספרים שהם חזקותיו של 2 (בעלי הצורה n2) הם מספרים כמעט משוכללים.
לא ידוע על מספרים כאלה שיש להם צורות אחרות. בייחוד לא ידוע אם יש מספרים אי-זוגיים כאלה.
קיימים אינסוף מספרים כמעט משוכללים.
מספר כמעט-משוכלל לדוגמה: 16. מחלקיו לא כולל עצמו הם: 1,2,4,8 וסכום מחלקיו הוא 15.
שאלות פתוחות: האם כל מספר כמעט משוכלל הוא מהצורה 2m  כאשר m מספר טבעי.
האם קיים מספר אי-זוגי שהוא מספר כמעט משוכלל?
האם קיימים מספרים קוואזי-משוכללים (סכום מחלקיהם דווקא גדול ב-1 מהמספר המקורי)?
מספרים מכפלתיים משוכללים
Product-Perfect Numbers
נקראים גם מספרים משוכללים כפלית
מספר מכפלתי משוכלל n הוא מספר אשר מכפלת כל מחלקיו שווה ל-n2.
ניסוח שקול: מספר מכפלתי משוכלל שווה למכפלת מחלקיו, לא כולל עצמו.
מספר מכפלתי משוכלל הוא למעשה מספר ראשוני למחצה, ומכאן נובע כי כל מספר שהוא מכפלה
של שני מספרים ראשוניים שונים הוא מספר מכפלתי משוכלל, ובנוסף:
כל מספר שהוא חזקה שלישית של מספר ראשוני הוא מספר מכפלתי משוכלל.
כל מספר מכפלתי משוכלל הוא מספר ראשוני למחצה בעל 4 מחלקים שונים (כולל 1 והמספר עצמו).
מספר מכפלתי משוכלל לדוגמה: 33. מחלקיו הם: 1,3,11,33 ומכפלתם היא 1089, קרי 332.
מספרים רב-משוכללים
Multiperfect Number
נקראים גם מספרים מולטי-משוכללים או מספרים k-משוכללים.
מספר רב-משוכלל הוא מספר אשר סכום מחלקיו, לא כולל עצמו אבל כולל 1, הוא כפולה של המספר עצמו
במספר טבעי..
ניסוח שקול: מספר רב משוכלל הוא מספר טבעי n שסכום כל מחלקיו שווה ל-kn (k מספר טבעי),
כלומר, סכום מחלקיו הוא כפולה שלמה של המספר עצמו, ולפיכך קבוצת המספרים המשוכללים
(מקרה פרטי עבור K=2) היא תת-קבוצה של קבוצת המספרים הרב-משוכללים.
נאמר שמספר רב משוכלל הוא מסדר n, כך ש-n הוא מספר שלם.
כל מספר משוכלל הוא מספר רב-משוכלל מסדר 2.
למשל, סכום המחלקים של המספר 120 הוא: 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60=240=120*2.
זו הייתה תגליתו של המתמטיקאי הצרפתי מרן מרסן – עליו נתוודע בפרק על "מספרי מרסן".
במכתב שכתב מרסן לדקרט בשנת 1631, הוא שאל אותו אם יוכל למצוא מספרים נוספים כאלה. שאלה זו העסיקה רבות את דקרט, ורק כעבור שבע שנים הוא סיפק בסדרה של מכתבים למרסן רשימה של מספרים כאלה. בינתיים גם פרמה עסק בסוגייה, והוא גילה בשנת 1637 את המספר 672, שמספר מחלקיו הוא 1344=672*2. בין רשימת המספרים שסיפק דקרט היה המספר 30240 שסכום מחלקיו גדול פי 3 מהמספר עצמו ועוד מספר עצום בגודלו שסכום מחלקיו גדול פי 4 מהמספר.
כל המספרים האלה הם מספרים זוגיים, כשם שכל המספרים המשוכללים הם מספרים זוגיים. נכון לשנת 2004 ידועים אלפים אחדים של מספרים כאלה שסכום מחלקיהם כפול פי 2 עד פי 11 מהמספר עצמו.
מספר רב-משוכלל מסדר 3 לדוגמה:  672.
סכום מחלקיו הוא 2016, ומכיוון ש-2016=672*3, הרי ש-672 הוא מספר רב-משוכלל מסדר 3.
 
מספרים קוואזי-משוכללים
Quasiperfect Numbers
מספר קוואזי-משוכלל הוא מספר טבעי n שסכום כל מחלקיו שווה ל-2n+1.
כל מספר קוואזי-משוכלל הוא מספר יתר.
לא ידוע על קיומו של מספר כזה.
מספרים ממשיים
Real Numbers
איחוד של קבוצת המספרים הרציונליים וקבוצת המספרים האי-רציונליים.
מספרים מעוקבים
Cube Numbers
מספר מעוקב הוא מספר שהוא החזקה השלישית של מספר אחר.
דוגמה למספר מעוקב: 64. זו החזקה השלישית של המספר 4.
סדרת המספרים המעוקבים: 1,8,27,64…
מספרים מצולעים
Polygonal Numbers
לפרט את הסוגים…
מספרים מרוכבים
Complex Numbers
מספר מרוכב הוא מספר מהצורה x+yi, כאשר x  ו- y מספרים ממשיים ו i2=-1-. x הוא החלק הממשי של המספר המרוכב ו-y הוא החלק המדומה של המספר המרוכב.
מספרים נגיעים
Touchable Numbers
מספר נגיע הוא מספר טבעי המייצג את סכום המחלקים של מספר טבעי אחר, לא כולל המספר האחר עצמו.
מעצם ההגדרה, כל זוג מספרים ידידים מורכב משני מספרים נגיעים. למשל, הזוג (220,284).
כל מספר אי-זוגי, מלבד המספר 5, הוא מספר נגיע.
ישנם אינסוף מספרים נגיעים.
מספרים נדירים
Rare Numbers
מספר נדיר הוא מספר שאם מחברים אליו או מחסירים ממנו את אותו מספר בהיפוך ספרות, מקבלים בשני
המקרים מספרים ריבועיים (מספרים שיש להם שורש שלם).
מספרים נדירים לדוגמה: 65, 281089082.
הסכום של 65 ו-56 הוא 121 ולו יש שורש שלם 11.
ההפרש של 65 ו-56 הוא 9 ולו יש שורש שלם 3.
מספרים נרקיסיסטיים
Narcissistic Numbers
נקראים גם מספרים אצילים.
מספר נרקיסיסטי הוא מספר אשר סכום המעוקבים של ספרותיו שווה למספר עצמו.
מספרים נרקיסיסטיים לדוגמה: 153, 370, 371, 407.
סכום המעוקבים של 153 הוא: 13+53+33=153  ולכן זהו מספר נרקיסיסטי.
מספר נרקיסיסטי הוא מקרה פרטי של מספרי ארמסטרונג.
מספרים פאן-דיגיטליים
Pandigital Numbers
מספר פאן-דיגיטלי הוא מספר שבו מופיעות כל הספרות מ-0 עד 9 בדיוק פעם אחת. לדוגמה: 2596083417.
מספר כמעט פאן-דיגיטלי הוא מספר שבו מופיעות כל הספרות מ-1 עד 9 בדיוק פעם אחת. לדוגמה: 259683417.
מספרים מסוג אלו יכולים להיות מוגדרים בכל בסיס. למשל, מספר פאן-דיגיטלי בבסיס 4 הוא 3201.

 

מספרים פקטוריאליים
Factorial Numbers
נקרא גם מספר פקטוריוני.
מספר פקטוריאלי הוא מספר אשר סכום העצרות של ספרותיו שווה למספר עצמו.
מספרים פקטוריאליים לדוגמה:  1, 2, 145, 40585.
סכום העצרות של המספר 145 הוא :1!+4!+5!= 145  ולכן 145 מספר פקטוריאלי.
מספרים פריקים
Composite Numbers
מספר פריק הוא מספר המתחלק ללא שארית ביותר משני מספרים.
קבוצת המספרים הטבעיים מורכבת מקבוצת המספרים הפריקים ומקבוצת המספרים הראשוניים.
כל המספרים הפריקים ניתנים לייצוג כמכפלה של מספרים ראשוניים, ולכל מספר פריק
ישנה הצגה אחת ויחיה באופן זה. למשל: 99=11*3*3
מספרים פריקים לדוגמה: 20, 99.
מספרים פריקים ברמה גבוהה
Highly Composite Numbers
נקראים גם מספרים פריקים במיוחד.
מספר פריק ברמה גבוהה הוא מספר פריק בעל שיא המחלקים לעומת המספרים הטבעיים הקטנים ממנו.
מספר פריק במיוחד לדוגמה: 12. למספר 12 ישנם 6 מחלקים וזהו השיא עד כה, מכיוון שלכל
המספרים הטבעיים הקטנים ממנו ישנם פחות מ-6 מחלקים.

המספר התלת-ספרתי שלו מספר המחלקים הרב ביותר הוא 840, ויש לו 32 מחלקים:
1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,15,20,21,24,28,30,35,40,42,56,60,70,84,105,120,140,168,210,280,420,840

מספרים ראשוניים
Prime Numbers
מספר ראשוני הוא מספר טבעי בעל שני מחלקים בלבד: 1 והמספר עצמו.
מעצם ההגדרה, המספר 1 אינו ראשוני.  המספר 2 הוא המספר הזוגי היחיד שהוא גם ראשוני.
השערת ברטנרנד, אשר הוכחה ע"י צ'בישב, טוענת כי בין כל מספר טבעי n למספר 2n
קיים לפחות מספר ראשוני אחד.
אאוקלידס היה הראשון שהוכיח כי קיימים אינסוף מספרים ראשוניים.
נפת ארטוסתנס הוצגה ככלי המאפשר למצוא את כל המספרים הראשוניים הקטנים ממספר נתון באמצעות
גילוי קיומו של מחלק למספר הנבחן.
משפט המספרים הראשוניים, אשר הוכח ע"י המתמטיקאי ההונגרי פאול ארדש,  מנפק נוסחה המאפשרת
לאמוד את מספר המספרים הראשוניים בטווח מספרים טבעיים נתון החל מהמספר 2.
צפיפות המספרים הראשוניים יורדת ככל שהמספרים גדלים.
עד כה, לא נמצאה נוסחה שתניב את כל המספרים הראשוניים
מספרים ראשוניים בין הראשוניים
/////// Numbers
מספר ראשוני בין הראשוניים הוא מספר ראשוני שאם מוחקים את ספרת האחדות שלו,
המספר החדש המתקבל גם הוא מספר ראשוני, וכך התהליך חוזר על עצמו עד לקבלת
מספר ראשוני בעל ספרה אחת בלבד.
מספר ראשוני בין ראשוניים לדוגמה: 317. נמחק את 7 ונקבל את 31. נמחק את 1 ונקבל את 3. שלושתם מספרים ראשוניים.
המספר 173, למשל, אינו שייך לקבוצה זו משום שלאחר 2 מחיקות של ספרת האחדות, נותר המספר 1 שהוא אינו ראשוני.
מספרים ראשוניים למחצה
Semiprime Numbers
מספר ראשוני למחצה הוא מספר ראשוני בעל שני מחלקים ראשוניים בלבד.
מספר ראשוני למחצה הוא למעשה מספר מכפלתי משוכלל.
מספר ראשוני למחצה לדוגמה  141, 33.  מחלקיו של 33 הם 3 ו-11, ואלו הם מספרים ראשוניים.
מחלקיו של 141 הם 3 ו-47, ואלו הם מספרים ראשוניים.

341 הוא המספר הראשוני-למחצה הקטן ביותר בבסיס 2, כלומר 2341-2 מתחלק ב-341,
על אף ש-341 אינו מספר ראשוני.
מספרים ראשוניים-למחצה בכל בסיס כלשהו נקראים מספרי קרמייקל.

מספרים ראשוניים תאומים
Twin Prime Numbers
זןג מספרים ראשוניים נקראים מספרים ראשוניים תאומים אם ההפרש ביניהם הוא 2.
זוגות מספרים ראשוניים תאומים לדוגמה: 5 ו-7, 101 ו-103.

השערת המספרים התאומים הראשוניים גורסת כי….אאאא

שאלות פתוחות: האם קיימים אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים תאומים.

מספרים פסאודו-ראשוניים
Pseudoprime Numbers
נקראים גם מספרי סרוס או מספרי פולה.
מספר פסאודו-ראשוני הוא מספר פריק שמתנהג כאילו הוא מספר ראשוני מעצם העבודה שהוא
מקיים את חלקה הראשון של ההשערה הסינית.
סדרת המספרים הפסאודו-ראשוניים: 341,561,645,1105…
ההשערה הסינית
ראוי לעמוד על שיקול דעתם האפשרית של אנשים בפתירת בעיה עתיקת יומין שהעסיקה מתמטיקאים סינים לפני כ-2500 שנה. ננסח את הבעיה כך: מה צריך להיות טיבו של n כדי שיחלק את הביטויn -2   2? נניח שבחרנו להציב את המספר 7 במקום n, התוצאה תהיה 126=2-‏27, ומספר זה מתחלק ל-7. אם נציב 5 במקום n, נקבל את המספר 30, שמתחלק ל-5, ואם נציב 11, נקבל 2046, שמתחלק ב-11. כעת, נציב במקום n את המספרים: 4, 6 ו-8. המספרים שיתקבלו לא יתחלקו במספרים אלה. לאור תוצאות אלה נוכל אולי להגיע למסקנה שאם נציב במקום n מספרים אי-זוגיים הביטוי יהיה בר-חלוקה, ואם נציב מספרים זוגיים הוא לא יהיה כן. כעת, כדי להיות בטוח בנכונות המסקנה נציב במקום n את המספר 9, והנה להפתעתנו המספר 510 אינו מתחלק ב-9. גם המספר 32766 אינו מתחלק ב-15 במקרה שנציב 15 במקום n. כאן נצטרך לעיין מחדש בנתונים שבידנו: הכלל מתקיים אם מציבים במקום n את המספרים 2, 5, 7, ו-11, אבל הוא לא מתקיים אם נציב את המספרים: 4, 6, 8, 9, ו-15. כעת המסקנה נראית ברורה: הכלל מתקיים אך ורק אם n הוא מספר ראשוני. אם יהיה לנו זמן ונהיה מאוד סקרנים, נציב למשל את המספרים לפי הסדר מ-16 עד 25, ואז ניווכח שהכלל אכן מתקיים לגבי המספרים 17, 19 ו-23 ואינו מתקיים לגבי שאר המספרים, שהם פריקים כולם.

ואכן כך חשבו המתמטיקאים הסינים מלפני דורות רבים. הם שיערו ש-2-p2 יתחלק תמיד ב-p, אם p הוא מספר ראשוני, אבל אם p הוא מספר פריק אזי הוא לא יתחלק בו לעולם! בפועל, הכלל נכון כאשר 340 p≤, אבל הוא גם נכון לגבי 341=p, שהוא מספר פריק: 341=11*31. וכך נמצאה ההשערה הסינית (כך היא נודעת בספרי המתמטיקה Chinese hypothesis) נכונה רק לגבי החלק הראשון שלה, ולא נכונה לגבי החלק השני. זה נתגלה בשנת 1819 על ידי המתמטיקאי הצרפתי פייר סַרוס Sarrus (1861-1798). כיום אפשר להבין את טעותם של הסינים: המספר 341 הוא המספר הפריק הקטן ביותר שהחלק השני של הכלל מדבר בו. באמצעים שהיו להם אז קשה היה להם לחשב את המספר 2341, שהוא מספר עצום בגודלו. מסתבר שמספר זה התנהג כאילו היה מספר ראשוני, הוא "התחזה" למספר ראשוני בכך שהוא קיים את הנוסחה הנ"ל על אף העובדה שהוא מספר פריק, ולכן הוא כונה על-ידי מתמטיקאים של ימינו בשם מספר פסאודו-ראשוני. כמאה שנים לאחר מכן, בשנת 1926, פרסם המתמטיקאי פול פּוּלֶה Poulet טבלה של מספרים פסאודו ראשוניים כאלה (נזכור! מדובר רק על בסיס 2) בתחום 50 מיליון המספרים הראשונים, ובשנת 1938 הוא שכלל את הטבלה לתחום מאה מיליון. על כן קוראים המתמטיקאים כיום למספרים אלה בשם מספרי סַרוס או מספרי פולה. מספרים אלה הם נדירים למדיי. בתוך האלף הראשון יש 3 מספרים כאלה (341, 561 ו-645 ראה טבלה מס' 1) בהשוואה ל-168 מספרים ראשוניים הקיימים בתחום זה; ובתחום המיליון הראשון יש 245 מספרים כאלה בעוד שבתחום זה יש 78,498 מספרים ראשוניים. ר מספרי קרמייקל.

מספרים ראשוניים
מסוג סופי ז’רמן
Sophie Germain Prime Numbers
מספר ראשוני מסוג סופי ז’רמן הוא מספר ראשוני x בתנאי שגם המספר 2x+1 ראשוני.
מספר ראשוני מסוג סופי ז’רמן לדוגמה: 89. מספר זה מקיים את התנאי.
תחילת סדרת המספרים מסוג זה:   2,3,5,11,23,29…

שאלות פתוחות: האם ישנם אינסוף מספרים ראשוניים מסוג סופי ז'רמן.

מספרים ריבועיים
Square Numbers
מספר ריבועי הוא מספר שהוא ריבועו של מספר אחר.
מספר ריבועי לדוגמה: 144. זהו ריבועו של המספר 12.

 

מספרים רציונליים
Rational Numbers
מספרים אשר ניתן להציגם כמנה של מספרים שלמים.
מספרים שליליים
Negative Numbers
מספר שלילי הוא מספר הקטן מאפס.
מספרים שלמים אלגבריים
Algebraic integer Numbers
מספר שלם אלגברי הוא מספר מרוכב שהוא שורש של פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים.
פולינום מתוקן הוא פולינום שבו 1 הוא המקדם של האיבר בעל החזקה המקסימלית.
מספרים שלמים
Integer Numbers
מספרים חיוביים ומספרים שליליים כולל המספר אפס.
מספרים שמורים
///////t Numbers
מספר שמור הוא מספר שאם מחברים את החזקות ה-n-יות של ספרותיו בתהליך חוזר, הרי שבסיומו
של התהליך נקבל את המספר עצמו.

מספרים שמור לדוגמה: 2178, 55, 936.
55 הוא מספר שמור מסדר שלוש:    55=53+53=250=23+53+03=133=13+33+33=55
התהליך הנ"ל מצביע על כך שגם 133 ו-250 הם מספרים שמורים מסדר 3.
2178 הוא מספר שמור מסדר ארבע.

GCD  – המחלק המשותף המקסימלי

Greatest Common Divisor

נקרא גם המחלק המשותף הגבוה ביותר (ממג"ב).
מספר שלם נקרא מחלק משותף מקסימלי של שני מספרים או יותר, אם הוא המספר הגדול ביותר
שמחלק את שניהם ללא שארית. דוגמה: 12, הוא מחלק משותף מקסימלי של 36 ו-48.
עבור כל שני מספרים זרים או יותר, המחלק המשותף המקסימלי הוא 1.  כלומר,
אם x  ו- y מספרים זרים, אז LCM(x,y)=1

זהויות:
GCD(x,1)=1
GCD(x,x)=x
GCD(x,0)=x

מתקיים השוויון הבא:   LCM(x,y)*GCD(x,y)=xy

LCM  – הכפולה המשותפת הקטנה ביותר
Least Common Multiple
מספר שלם הוא המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של שני מספרים או יותר, אם הוא מתחלק במספרים
ללא שארית. דוגמה: 20 הוא המכפלה המשותפת הקטנה ביותר, קרי המכנה המשותף של 4 ו-5.
12 הוא המכפלה המשותפת הקטנה ביותר, קרי המכנה המשותף של 4 ו-6.
עבור כל שני מספרים זרים או יותר, המכפלה המשותפת הקטנה ביותר היא מכפלת המספרים עצמם.
אם x  ו- y מספרים זרים, אז LCM(x,y)=xy
זהויות:
LCM(x,1)=x
LCM(x,x)=x
LCM(x,0)=0 (אין משמעות לזהות זו כאשר מחפשים מכנה משותף לפתרון תרגילי שברים).

מתקיים השוויון הבא:   LCM(x,y)*GCD(x,y)=xy
דוגמה :LCD(12,18)*GCD(12,18)=36*6=216

להוסיף דוגמה בעמוד 255 במתמטיקה בהנאה.

   
   
   
   
   

 

 

 

 

 

 

 

 

970x90