אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות – סקירת ספרות

במאמר זה נסקור שלושה ספרים המסכמים את ההיבטים השונים בנושא
"אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות".

1) אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, מאת פרופסור בנו ארבל.
2) מתמטיקה בהנאה, מאת פרופסור שמואל אביטל.
3) אולימפיאדת המתמטיקה הבינלאומית, מאת פרופסור שי גירון.

 

א) הספר הראשון הוא "אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות" מאת פרופסור בנו ארבל,
בשני כרכים, בהוצאת האוניברסיטה הפתוחה, תש"ן, 1990.

הספר מכיל 808 עמודים ופותח בהצגת מודל בן ארבעה שלבים העומד בבסיסו
של תיאור התהליך לפתרון בעיות, כפי שנוסח ע"י פסיכולוגים אשר חקרו את כתביהם של
מתמטיקאים ומדענים דגולים מהעבר. ארבעת השלבים של המודל הם:

1. שלב ההכנה.
2. שלב הדגירה.
3. שלב ההשראה.
4. שלב הבדיקה.

 

המסר העיקרי של הספר מובא בעמוד 3:
"אפשר לאמר כי התהליך של פתרון בעיות הוא ענין של בחירה הולמת של איסטרטגיה".
בהמשך נסקרים בקצרה חמשת הגורמים המשחקים תפקיד חשוב בתהליך מסובך זה.

בחלק ב' של הספר מוצגת רשימה מפורטת של אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות,
המבוססת על שני תהליכים עיקריים:

1. ניתוח הבעיה והבנתה המלאה, הנסמכים בעיקר על
פישוט הבעייה וניסוחה באופנים שונים, תוך ניצול תכונות
מסוימות שלה, כגון סימטריות והומוגניות.

2. ייחוס הבעייה לקטגוריה מוכרת ויישום האסטרטגיות.
בסעיף זה מפורטות אסטרטגיות רבות, אשר מטרתן לשדך את הבעייה,
כמעט באופן חד-חד-ערכי, לאסטרטגיה או לאסטרטגיות המתאימות לפתרונה.

חלק  מהאסטרטגיות המוזכרות הן אי-שוויון הממוצעים והשימוש בו לפתרון
בעיות מתחומים שונים, עקרונות קומבינטוריים ורעיונות חשובים בפתרון
בעיות מתורת המספרים.

אחת האסטרטגיות הממרתקות היא "פתרון בעייה בהליכה מהסוף להתחלה"
בבעיות אלגבריות, חשבוניות וגיאומטריות.

האסטרטגיה, במבט ראשון, מכילה פרדוקס מסויים, אם כי הנמשל המובא ע"י
המחבר בעמוד 630, מחדד את המסר:
"קל יותר להגיע ממקום בלתי-מוכר למקום מוכר, מאשר להפך."

ייחודיותו של הספר בכמות העצומה של הדוגמאות המובאות להדגמת האסטרטגיות
לפתרון הבעיות וברמתן הגבוהה של הבעיות.

חלק נכבד מן הבעיות לקוחות משלושה תחומים מרכזיים של המתמטיקה:
תורת המספרים (יישום תכונות אי-שוויונים), קומבינטוריקה וגיאומטריה.

 

ספרים נוספים שכתב פרופסור בנו ארבל:
הזמנה לפתרון בעיות מתמטיות א'+ב'+'ג.
קיצור תולדות המתמטיקה.
מתמטיקאים וארועים גדולים בתולדות המתמטיקה.
בעיות עם עקרון דיריכלה ורעיון הצביעה (בשיתוף עם יהודה רודיטי ואיליה קרסיקוב).

 

 

ב) הספר השני הוא "מתמטיקה בהנאה" מאת פרופסור שמואל אביטל, בהוצאת
עם עובד, תשנ"א 1991.

הספר מכיל 293 עמודים ורוב הבעיות בו הן ברמת הידע של תלמידי חטיבת הביניים.
בפרט, במספר רב של בעיות בספר זה, כמות הידע הדרושה היא קטנה.
עם זאת, הדגש הוא על המאמץ האישי הדרוש מכל פותר כל מנת לגלות את
הדרך המובילה מן הידע אל פתרון הבעייה, ובספר מובאות בעיות רבות ומסקרנות
מתחומים שונים של המתמטיקה עם נגיעות בתורת המספרים,
שעשועי מספרים, בעיות מילוליות ובעיות חקירה מתמטיות במשיור ובמרחב.

בספר שנים-עשר פרקים, ופרק י"ב, דן בנושא "דרכים לפתרון בעיות"
לפי מודל שפיתח המתמטיקאי ואיש החינוך הגדול, ג'ורג' פוליה, בספרו
How to solve it”".

בפרק זה מוצגים בפרוטרוט השלבים והדרכים לביצועם  בגישה זו,
תוך שימוש בדוגמאות רבות פתורות עבור כל שלב ושלב.

המשפט הממצה באופן הטוב ביותר את האסטרטגיות לפתרון בעיות מובא בעמוד 153:
"מיומנות אמיתית בפתרון בעיות אפשר לרכוש רק על ידי פתרון בעיות".

להלן פירוט של ראשי הפרקים עבור ההויריסטיקות והאסטרטגיות המובאים בפרק זה,
לפי ארבעת השלבים הבסיסיים, שפיתח ג'ורג' פולייה:

1. הבינו את הבעיה.
1) מה נתון ומהי המטרה? מה מבקשים מאיתנו

2) היו בטוחים שחשבתם והבינותם כל מושג המופיע בבעייה,
ושהעליתם את כל שידוע לכם הקשור במושגים אלה.
3) ערכו את הנתונים בצורה ויזואלית.
4) נסחו לעצמכם את הבעייה בדרך משלכם.

2. ערכו תכנית לפתרון.
1) אל תפחדו מהכנסת משתנים.
2) פשטו את בעייתכם ופתרו בעייה קלה יותר.
3) עקבו אחרי היווצרות הדברים.
4) נסה להיזכר בבעייה דומה שכבר פתרת.
5) לכו בכיוון ההפוך.
6) עקרון שובך היונים.
7) העלה בזכרונך רעיונות נוספים שיכול להיות להם קשר עם הבעייה.

3. בצעו את התכנית.

4. הביטו אחורה.
1) האם פתרונכם מתקבל על הדעת.
2) התוכלו למצוא פתרון המבוסס על רעיון אחר?
3) אילו שאלות נוספות תוכלו לשאול?

 

בסוף הספר מצורף מילון מונחים מתמטיים, שנזכרו במהלך פרקי הספר.

מצורף קישור למאמר לזכרו של פרופסור שמואל אביטל ז"ל, שהוכן ע"י
המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים בטכניון, ופורסם בכתב העת על"ה,
גליון מספר  27 בשנת 2002.

 

 

ג) הספר השלישי הוא אולימפיאדת המתמטיקה הבינלאומית, מאת פרופסור שי גירון,
בהוצאת "אקדמיה-הוצאה לאור, שנת 2000.

בספר מוצגות בעיות, תשובות, רמזים ופתרונות מלאים של אולימפיאדת המתמטיקה
הבינלאומית משנת 1985 עד 1999, והוא נכתב כספר הכנה לתלמידים המתכוננים
לקראת אולימפיאדת המתמטיקה הבינלאומית.

בפרק 9 מופיע סיכום החומר הדרוש כדי להתמודד בתחרויות הבינלאומיות.
הסיכום ניתן להורדה מהאתר של פרוייקט התחרויות במתמטיקה לנוער,
דרך הקישור הבא.

ספרים נוספים של פרופסור שי גירון:
אולימפיאדת המתמטיקה על שם פרופסור ירמיהו גרוסמן 1983-1999
מתמטיקה בדידה – פרופסור שי גירון וד"ר שוני דר.

 

רשימת העובדות מחולקת נושאים המתמטיים הבאים:

1) קומבינטוריקה
2) תורת הגרפים
3) תורת המספרים
4) אי שוויונים
5) מספרים קומפלקסיים
6) פולינומים
7) אינדוקציה
8) טריגונומטריה
9) הנדסת מישור ומרחב, וקטורים
10) גיאומטריה אנליטית וחתכים קוניים
11) מבוא לאנליזה

970x90
hmkjkjhlkjh.n